Ελάχιστη τιμή σε απόλυτα

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

|2x-y-1| + |x+y| +|y|

,

όπου

πραγματικοί αριθμοί.

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 2007.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Ιαν 09, 2021 2:44 pm Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

,

όπου πραγματικοί αριθμοί.

Ας είναι $\displaystyle{K=|2x-y-1| + |x+y| +|y|.}$

Επειδή $\displaystyle{|2x-y-1|+|y|\geq |2x-y-1-y|=|2x-2y-1|}$

έχουμε

$\displaystyle{K\geq |2x-2y-1|+|x+y|. }$

Από αυτήν προκύπτει $\displaystyle{K\geq |3x-y-1|}$ , αλλά και $\displaystyle{K\geq |x-3y-1|}$ , οπότε από αυτές έχουμε και τις

$\displaystyle{2K\geq |4x-4y-2|}$ , αλλά και την $\displaystyle{2K\geq |2x-2y|}$ , δηλαδή τις

$\displaystyle{K\geq |2x-2y-1|}$ και $\displaystyle{2K\geq |2x-2y|.}$

Από αυτές προκύπτει $\displaystyle{3K\geq 1\implies K\geq \frac{1}{3}.}$

Η ισότητα πιάνεται για $\displaystyle{x=\frac{1}{3},y=-\frac{1}{3}}$ άρα $\displaystyle{\min K=\frac{1}{3}.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Ιαν 09, 2021 2:44 pm Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

,

όπου πραγματικοί αριθμοί.

Θέτουμε

Αυτή είναι κυρτή συνάρτηση και τοπικά το γράφημα της μέρος επιπέδου.

Οι ευθείες 2x-y-1=0, x+y=0 ,y=0

τέμνονται στα

$(0,0),(\frac{1}{2},0),(\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$

Σε ένα από αυτά παίρνει ελάχιστη τιμή.

Αφου
$f((0,0))=1,f((\frac{1}{2},0))=\frac{1}{2},f((\frac{1}{3},-\frac{1}{3}))=\frac{1}{3}$

η ελάχιστη τιμή είναι

$f((\frac{1}{3},-\frac{1}{3}))=\frac{1}{3}$

#4

$|2x-y-1| + |x+y| +|y|\geq \dfrac{1}{3}|2x-y-1|+\dfrac{2}{3}|x+y|+|y|\geq |\dfrac{1}{3}(2x-y-1)-\dfrac{2}{3}(x+y)+y|=\dfrac{1}{3}$ .

H ισότητα πιάνεται μόνο όταν 2x-y-1=x+y=0

δηλαδή όταν $(x,y)=(\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{3}).$

Ελάχιστη τιμή σε απόλυτα

Ελάχιστη τιμή σε απόλυτα

Re: Ελάχιστη τιμή σε απόλυτα

Re: Ελάχιστη τιμή σε απόλυτα

Re: Ελάχιστη τιμή σε απόλυτα

Μέλη σε σύνδεση