Ελάχιστη τιμή παράστασης με κλάσματα

Al.Koutsouridis · #1

Εστω

πραγματικοί μη αρνητικοί αριθμοί. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της έκφρασης:

$\dfrac{a+3c}{a+2b+c} + \dfrac{4b}{a+b+2c} -\dfrac{8c}{a+b+3c}$ .

#2

Θέτουμε $\displaystyle{a+2b+c=x>0, a+b+2c=y>0, a+b+3c=z>0}$ , οπότε είναι

$\displaystyle{a=5y-3z-x, b=x+z-2y, c=z-y}$

και η παράσταση γίνεται

$\displaystyle{K:=2\frac{y}{x}+4\frac{x}{y}+4\frac{z}{y}+8\frac{y}{z}-17.}$

Από ΑΜ-ΓΜ είναι

$\displaystyle{K\geq 2\sqrt{2\frac{y}{x}\cdot 4\frac{x}{y}}+2\sqrt{4\frac{z}{y}\cdot 8\frac{y}{z}}-17=12\sqrt{2}-17}$

και η ισότητα ισχύει ανν

$\displaystyle{z^2=2y^2=4x^2,}$ οπότε $\displaystyle{\min K=12\sqrt{12}-17.}$

Ελάχιστη τιμή παράστασης με κλάσματα

Ελάχιστη τιμή παράστασης με κλάσματα

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης με κλάσματα

Μέλη σε σύνδεση