Ανίσωση για μεκρότερους της μονάδας αριθμούς

Al.Koutsouridis · #1

Να αποδείξετε, ότι αν 0 < a, b < 1

τότε,

$\dfrac{ab(1-a)(1-b)}{(1-ab)^2} < \dfrac{1}{4}$ .

(Για Β', Γ' Λυκείου)

Maria-Eleni Nikolaou · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: Τρί Οκτ 25, 2022 2:41 pm Να αποδείξετε, ότι αν τότε,

$\dfrac{ab(1-a)(1-b)}{(1-ab)^2} < \dfrac{1}{4}$ .

(Για Β', Γ' Λυκείου)

Είναι: $a+b\geq 2\sqrt{ab}$

Όποτε: $1-(a+b)+ab\leq 1-2 \sqrt{ab} +ab=(1-\sqrt{ab})^2$

Άρα έχουμε: $\dfrac{ab(1-a)(1-b)}{(1-ab)^2} \leq \dfrac{ab(1-\sqrt{ab})^2}{(1-\sqrt{ab})^2(1+\sqrt{ab})^2}= \dfrac{ab}{(1+\sqrt{ab})^2}$

Επίσης ισχύει: $4ab\leq (a+b)^2<2^2=4\Leftrightarrow ab<1$

Θέλουμε: $\dfrac{ab}{(1+\sqrt{ab})^2}<\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow 4ab<(1+\sqrt{ab})^2\Leftrightarrow 2\sqrt{ab}<1+\sqrt{ab}\Leftrightarrow \sqrt{ab}<1\Leftrightarrow ab<1$ που ισχύει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: Τρί Οκτ 25, 2022 2:41 pm Να αποδείξετε, ότι αν τότε,

$\dfrac{ab(1-a)(1-b)}{(1-ab)^2} < \dfrac{1}{4}$ .

(Για Β', Γ' Λυκείου)

Διαφορετικά με θεωρία τριωνύμου.
Αν κάνουμε τις πράξεις και θέσουμε όπου

το

καταλήγουμε ότι η $\displaystyle f(x)=b(3b-4)x^2-2xb(2b-3)-1$
πρέπει να είναι αρνητική όταν 0<x,b<1

Ο πρώτος όρος του τριωνύμου είναι αρνητικός οπότε παίρνει μέγιστη τιμή.
Αυτή είναι
$\displaystyle \frac{4-3b-b(2b-3)^2}{3b-4}=\frac{4(1-b)^3}{3b-4}$
που προφανώς είναι αρνητική.

Ανίσωση για μεκρότερους της μονάδας αριθμούς

Ανίσωση για μεκρότερους της μονάδας αριθμούς

Re: Ανίσωση για μεκρότερους της μονάδας αριθμούς

Re: Ανίσωση για μεκρότερους της μονάδας αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση