Ελάχιστο πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές

Al.Koutsouridis · #1

Το

είναι πολυώνυμο τετάρτου βαθμού με ακέραιους συντελεστές, εκ των οποίων ο μεγιστοβάθμιος είναι θετικός. Εξάλλου $P\left( \sqrt{3} \right) =P \left( \sqrt{5} \right)$ . Να βρείτε τα

, για τα οποία το P(x)

λαμβάνει την ελάχιστη τιμή του.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 26, 2023 9:51 pm
Το είναι πολυώνυμο τετάρτου βαθμού με ακέραιους συντελεστές, εκ των οποίων ο μεγιστοβάθμιος είναι θετικός. Εξάλλου $P\left( \sqrt{3} \right) =P \left( \sqrt{5} \right)$ . Να βρείτε τα , για τα οποία το λαμβάνει την ελάχιστη τιμή του.

Αν

, η συνθήκη $P\left( \sqrt{3} \right) =P \left( \sqrt{5} \right)$ δίνει

$9a+3c+e+(3b+d)\sqrt 3 = 25 a+5c+e+(5b+d)\sqrt 5$ .

Άρα $(16a+2c) + (5b+d)\sqrt 5 -(3b+d) \sqrt 3 =0$ .

Από αρρητότητα είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι οι παραστάσεις στις παρενθέσεις είναι όλες

. Πράγματι αν $A + B \sqrt 5 + C \sqrt 3 =0$ με A,B,C

ακεραίους τότε $A^2 = (-B \sqrt 5 -C \sqrt 3)^2= B^2+2BC \sqrt {15} + C^2$ . Άρα 2BC=0

(αρρητότητα του $\sqrt {15}$ ). 'Επεται ότι B=0

ή

. Αν

τότε η $A + B \sqrt 5 + C \sqrt 3 =0$ γίνεται $A + C \sqrt 3 =0$ . Άρα C=0

και

(αρρητότητα της $\sqrt 3$ ). 'Ομοια η περίπτωση C=0

.

Έχουμε λοιπόν

$16a+2c =0, \, 5b+d =0, \, 3b+d=0$ . Άρα c=-8a

και

.

To πολυώνυμο τώρα γίνεται P(x) = ax^4 + bx^3+cx^2+dx+e = ax^4 -8a x^2+e= a(x^2-4)^2-16a+e

. Προφανώς παίρνει την ελάχιστή του τιμή όταν $x=\pm 2$ .

#3

Έστω $P(\sqrt{3}) = P(\sqrt{5}) = k$ . Πρέπει $k = a+b\sqrt{3} = c+d\sqrt{5}$ για κάποια $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ . Εύκολα (δείτε την ανάρτηση του Μιχάλη) καταλήγουμε στο ότι $k \in \mathbb{Z}$ .

Τότε το P(x) - k

είναι ακέραιο πολυώνυμο με ρίζες τις $\sqrt{3},\sqrt{5}$ και άρα και τις $-\sqrt{3},-\sqrt{5}$ . Συνεπώς

$\displaystyle P(x) = C(x^2-3)(x^2-5)$

για κάποιο C > 0

. Άρα

$\displaystyle P(x) = C[(x^2-4)^2-1] \geqslant -C$

με ισότητα αν και μόνο αν $x = \pm 2$ .

Ελάχιστο πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές

Ελάχιστο πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές

Re: Ελάχιστο πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές

Re: Ελάχιστο πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές

Μέλη σε σύνδεση