Παραμετρική ανίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για κάθε μια από τις οποίες η ανίσωση

$\dfrac{\sqrt{5}x^8+3x^{-8}-5 -a}{a-2\cos \sqrt{x-1} +3} \leq 0$

δεν έχει λύσεις.

(Για Γ' Λυκείου)
Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση Ρωσία, 2008.

vgreco · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 20, 2020 12:07 am
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για κάθε μια από τις οποίες η ανίσωση

$\dfrac{\sqrt{5}x^8+3x^{-8}-5 -a}{a-2\cos \sqrt{x-1} +3} \leq 0$

δεν έχει λύσεις.

(Για Γ' Λυκείου)
Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση Ρωσία, 2008.

Έστω οι συναρτήσεις:

$\displaystyle{ \begin{aligned} f: \bigl[1, +\infty \bigr) \to \mathbb{R} \quad \text{ \textgreek{με} } \quad f(x) &= \sqrt{5} \; x^8 + 3x^{-8} - 5 - a \\ g: \bigl[1, +\infty \bigr) \to \mathbb{R} \quad \text{ \textgreek{με} } \quad g(x) &= a - 2\cos\sqrt{x - 1} + 3 \end{aligned} }$
Παρατηρώ πως λόγω της $\rm AM-GM$ :

$\displaystyle{ f(x) = \sqrt{5} \; x^8 + 3x^{-8} - 5 - a \ge 2 \sqrt{3 \sqrt{5}} - 5 - a, \qquad \forall \ x \in \bigl[1, +\infty \bigr) }$
με την ισότητα να ισχύει π.χ. για $x = \sqrt[16]{\dfrac{3\sqrt{5}}{5}} > 1$ . Ακόμη:

$\displaystyle{ -2 \le -2\cos\sqrt{x - 1} \le 2 \Leftrightarrow a + 1 \le g(x) \le a + 5, \qquad \forall \ x \in \bigl[1, +\infty \bigr) }$
με το ελάχιστο να πιάνεται π.χ. για x = 1

και το μέγιστο για $x = \pi^2 + 1$ .

Είναι σαφές, τώρα, πως η ανίσωση δεν έχει λύσεις μόνο αν ισχύουν ταυτόχρονα f(x) > 0

και $g(x) \ge 0$ για κάθε $x \ge 1$ . Πράγματι, άλλωστε, αν η ανίσωση δεν είχε λύσεις και υπήρχε $x_1 \in \bigl[1, +\infty \bigr)$ τέτοιο ώστε $g\bigl( x_1 \bigr) < 0$ , τότε:

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} &\min g < 0 \Leftrightarrow a < -1 \\ &\min f > 2 \sqrt{3 \sqrt{5}} - 4 > 0 \end{aligned} \right\} \Rightarrow \dfrac{\overbrace{f\bigl( x_1 \bigr)}^{> \; 0}}{\underbrace{g\bigl( x_1 \bigr)}_{< \; 0}} < 0, \quad \text{ \textgreek{άτοπο}} }$
ενώ αντίστοιχα αν υπήρχε $x_2 \in \bigl[1, +\infty \bigr)$ τέτοιο ώστε $f\bigl( x_2 \bigr) \le 0$ , τότε:

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} &\min f \le 0 \Leftrightarrow a \ge 2 \sqrt{3 \sqrt{5}} - 5 \\ &\min g \ge 2 \sqrt{3 \sqrt{5}} - 4 > 0 \end{aligned} \right\} \Rightarrow \dfrac{\overbrace{f\bigl( x_2 \bigr)}^{\le \; 0}}{\underbrace{g\bigl( x_2 \bigr)}_{> \; 0}} \le 0, \quad \text{ \textgreek{άτοπο}} }$
Σύμφωνα με τα παραπάνω, η ανίσωση δεν έχει καμία λύση όταν:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} \min f > 0 \\ \min g \ge 0 \end{aligned} \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &2 \sqrt{3 \sqrt{5}} - 5 - a > 0\\ &a + 1 \ge 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \boxed{-1 \le a < 2\sqrt{3 \sqrt{5}} - 5} }$

Παραμετρική ανίσωση

Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση