Ακέραιες συντεταγμένες

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{x-2+\sqrt{x-3}}+\sqrt{x-2-\sqrt{x-3}}$

α) Λύστε την εξίσωση : f(x)=2

β) Βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της

με ακέραιες συντεταγμένες .

Dinhoo37 · #2

Έχω απάντηση μόνο για το α).
Είναι f(x)=2

Θέτω

και $b = \sqrt{x-3}$
Τότε είναι $\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b} = 2 \iff a+b + 2\sqrt{a^2-b^2} + a-b = 4$
Με αντικατάσταση γίνεται $\iff 2x + 2\sqrt{x^2-5x+7} = 8 \iff x + \sqrt{x^2 -5x + 7} = 4$
$\iff (\sqrt{x^2-5x+7})^2 = (4-x)^2$
$\iff -5x + 7 = -8x + 16$
$\iff x=3$

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Μαρ 25, 2026 6:06 pm Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{x-2+\sqrt{x-3}}+\sqrt{x-2-\sqrt{x-3}}$

α) Λύστε την εξίσωση :

β) Βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της με ακέραιες συντεταγμένες .

Λόγω της υπόρριζης ποσότητας εργαζόμαστε για $x\ge 3$ . Ας λύσουμε γενικότερα την εξίσωση f(x)=b

.

Η ύψωση στο τετράγωνο της $\sqrt{x-2+\sqrt{x-3}}+\sqrt{x-2-\sqrt{x-3}}=b$ δίνει $2\sqrt {x^2-5x+7} = b^2+4-2x$ . Νέα ύψωση στο τετράγωνο (οδηγεί σε πρωτοβάθμια) δίνει

$\displaystyle{\boxed {x= \dfrac {b^4+8b^2-12}{4(b^2-1)}}}$ .

Ειδικά για b=2

δίνει ρίζα x=3

(δεκτή).

Τώρα, για ακέραιες συντεταγμένες θέλουμε φυσικό

με $f(x)=b \in \mathbb N$ . Για ένα τέτοιο

, το αντίσοιχο

είναι

$x= \dfrac {b^4+8b^2-12}{4(b^2-1)}= \dfrac {1}{4}\left (b^2+9-\dfrac {3}{b^2-1} \right )$ .

Aν είναι φυσικός αυτός θα είναι και ο $b^2+9-\dfrac {3}{b^2-1}$ , άρα ο $\dfrac {3}{b^2-1}$ θα είναι ακέραιος. Έπεται $b^2-1=\pm 1$ ή $b^2-1=\pm 3$ . Από αυτές μόνο το b=2

δίνει ακέραιο (το είδαμε παραπάνω), και ολοκληρώσαμε.

#4

Θανάση, παρατηρώ ότι έκανες επεξεργασία/διόρθωση στην αρχική εκφώνηση της άσκησης μετά που ανάρτησα λύση. Όμως δεν βλέπω ποια είναι η αλλαγή που έκανες. Χάνω κάτι;

KARKAR · #5

Ανακάλεσα την διόρθωση που έκανα , αναρτώντας την άσκηση με την "σωστή" εκφώνηση , εδώ .

Ακέραιες συντεταγμένες

Ακέραιες συντεταγμένες

Re: Ακέραιες συντεταγμένες

Re: Ακέραιες συντεταγμένες

Re: Ακέραιες συντεταγμένες

Re: Ακέραιες συντεταγμένες

Μέλη σε σύνδεση