Ενδιάμεσο άθροισμα

KARKAR · #1

Σε κάποια αριθμητική πρόοδο , για κάποιον θετικό ακέραιο

, είναι : $S_{3n}=480$

και : $S_{5n}=1175$ . Υπολογίστε το $S_{4n}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Μάιος 02, 2026 6:42 pm Σε κάποια αριθμητική πρόοδο , για κάποιον θετικό ακέραιο , είναι : $S_{3n}=480$

και : $S_{5n}=1175$ . Υπολογίστε το $S_{4n}$ .

Από τον τύπο για το άθροισμα αριθμ. προόδου με πρώτο όρο

και διαφορά

είναι $\dfrac {1}{2}[2a+(3n-1)d ]\cdot 3n= 480$ . Άρα

$\dfrac {1}{2}[2a+(3n-1)d] \cdot n= \dfrac {480}{3}=160$

Όμοια

$\dfrac {1}{2}[2a+(5n-1)d] \cdot n= \dfrac {1175}{5}=235$ .

Άρα

$S_{4n} = \dfrac {1}{2}[2a+(4n-1)d] \cdot 4n = \dfrac {1}{2} \dfrac {[2a+(3n-1)d] + [2a+(5n-1)d] }{2}\cdot 4n=$

$= \dfrac {\frac {1}{2}[2a+(3n-1)d]n + \frac {1}{2}[2a+(5n-1)d] n }{2}\cdot 4= \dfrac {160+ 235 }{2}\cdot 4= 790$

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Μάιος 02, 2026 6:42 pm Σε κάποια αριθμητική πρόοδο , για κάποιον θετικό ακέραιο , είναι : $S_{3n}=480$

και : $S_{5n}=1175$ . Υπολογίστε το $S_{4n}$ .

Αλλιώς:

Λύνοντας ως προς

και

το (γραμμικό) σύστημα

$\left\{\begin{matrix} \dfrac {1}{2}[2a+(3n-1)d ]\cdot 3n= 480 \\ \dfrac {1}{2}[2a+(5n-1)d] \cdot 5n= 1175 \end{matrix}\right.$

θα βρούμε $a= \dfrac {95n+75} {2n^2},\, d = \dfrac {75}{n^2}$

Άρα

$S_{4n} = \dfrac {1}{2}[2a+(4n-1)d] \cdot 4n = \dfrac {1}{2} \left [\dfrac {95n+75} {n^2} +\dfrac {75(4n-1)}{n^2} \right ] \cdot 4n=790$

#4

Ας την γενικεύσουμε.

Έστω $k,\,m,\,n$ φυσικοί αριθμοί με $m\ne n$ . Έστω ακόμη ότι το άθροισμα των

πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι S_n

και το άθροισμα των

πρώτων όρων της είναι S_m

.

Να βρεθεί συναρτήσει των $n, \,m, \, S_n, \,S_m$ το άθροισμα S_k

των

πρώτων όρων της ίδιας προόδου.

(Δεν αμφιβάλλω ότι είναι γνωστή άσκηση, που υπάρχει τουλάχιστον στα παλιά βιβλία, αλλά με πρόχειρο ψάξιμο δεν την βρήκα πουθενά.)

KARKAR · #5

Επειδή : $S_{n}=\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$ , είναι : $\dfrac{2S_{n}}{n}=2a+(n-1)d$ , όμοια : $\dfrac{2S_{k}}{k}=2a+(k-1)d$ .

Με αφαίρεση κατά μέλη παίρνω : $\dfrac{2S_{n}}{n}-\dfrac{2S_{k}}{k}=(n-k)d$ και λύνοντας ως προς

$d=\dfrac{2(kS_{n}-nS_{k})}{nk(n-k)}$ και όμοια : $d=\dfrac{2(kS_{m}-nS_{k})}{mk(m-k)}$ . Εξισώνοντας τα πρώτα μέλη

και κάνοντας τις πράξεις , τελικά έχω : $S_{k}=k\dfrac{m(m-k)S_{n}-n(n-k)S_{m}}{mn(m-n)}$ .

#6

Γράφω ουσιαστικά τα ίδια με τον Θανάση, αλλά σε λίγο πιο χρήσιμη μορφή.

Ισχύει $S_{n}=\dfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ και $S_{m}=\dfrac{m}{2}[2a+(m-1)d]$ .

Λύνοντας το γραμμικό σύστημα ως προς

και

θα βρούμε

$a= \dfrac {m(m-1)S_n- n(n-1)S_m}{2nm(n-m)}$ και $d= \dfrac {mS_n- nS_m}{nm(n-m)}$

Από αυτά μπορούμε να βρούμε όλους τους τύπους των στοιχίων της αριθμητικής πρόοδου, όπως π.χ. τα a_k, S_k

. Ειδικά

$S_{k}=\dfrac{k}{2}[2a+(k-1)d]= k\dfrac{m(m-k)S_{n}-n(n-k)S_{m}}{mn(m-n)}$ .

Ενδιάμεσο άθροισμα

Ενδιάμεσο άθροισμα

Re: Ενδιάμεσο άθροισμα

Re: Ενδιάμεσο άθροισμα

Re: Ενδιάμεσο άθροισμα

Re: Ενδιάμεσο άθροισμα

Re: Ενδιάμεσο άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση