Συμμετρικό σύστημα

#1

Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \dfrac {x-1}{x^2+1} = \dfrac {y}{y^2+6}\\ \\ \dfrac {x}{x^2+6} = \dfrac {y-1}{y^2+1} \end{matrix}\right. }$

(Την είδα χωρίς λύση σε μία εθνική Ολυμπιάδα. Η λύση μου έχει μία ωραία πονηριά, γι' αυτό θέλω να την μοιραστώ μαζί σας)

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Μάιος 28, 2026 9:51 pm Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \dfrac {x-1}{x^2+1} = \dfrac {y}{y^2+6}\\ \\ \dfrac {x}{x^2+6} = \dfrac {y-1}{y^2+1} \end{matrix}\right. }$

(Την είδα χωρίς λύση σε μία εθνική Ολυμπιάδα. Η λύση μου έχει μία ωραία πονηριά, γι' αυτό θέλω να την μοιραστώ μαζί σας)

Με απαλοιφή παρονομαστών και εκτελώντας τις πράξεις, καταλήγω στις εξισώσεις:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} x{y^2} - {x^2}y + {x^2} + x + 6 - 6y = 0 \hfill \\ - x{y^2} + {x^2}y + {y^2} + y + 6 - 6x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Προσθέτω και αφαιρώ κατά μέλη και έχω:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {(x + y)^2} - 5(x + y) + 12 - 2xy = 0 \hfill \\ (x - y)(x + y - 2xy + 7) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Από τη δεύτερη εξίσωση παίρνω x=y

ή

και αντικαθιστώ στην πρώτη.

$\displaystyle \bullet$ Αν x=y,

τότε

απ' όπου $\boxed{x=y=2}$ ή $\boxed{x=y=3}$

$\displaystyle \bullet$ Αν 2xy=x+y+7,

τότε

απ' όπου

ή

α) Για

είναι

οπότε δεν έχουμε πραγματικές λύσεις.

β) Για x+y=5,

είναι

άρα $\boxed{x=2, y=3}$ ή $\boxed{x=3, y=2}$

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Μάιος 28, 2026 9:51 pm Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \dfrac {x-1}{x^2+1} = \dfrac {y}{y^2+6}\\ \\ \dfrac {x}{x^2+6} = \dfrac {y-1}{y^2+1} \end{matrix}\right. }$

(Την είδα χωρίς λύση σε μία εθνική Ολυμπιάδα. Η λύση μου έχει μία ωραία πονηριά, γι' αυτό θέλω να την μοιραστώ μαζί σας)

Παρατηρώ ότι αν εναλλάξω τα γράμματα προκύπτει το ίδιο σύστημα , άρα x = y

Τότε προκύπτει η εξίσωση : $\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} - \dfrac{x}{{{x^2} + 6}} = 0$ ή ${x^2} - 5x + 6 = 0$

Οπότε : $\left( {x,y} \right) = \left( {2,2} \right)\,\,\,$ είτε : $\left( {x,y} \right) = \left( {3,3} \right)\,\,\,$ είτε ( λόγω και συμμετρίας του συστήματος )

$\left( {x,y} \right) = \left( {2,3} \right)\,\,\,$ είτε : $\left( {x,y} \right) = \left( {3,2} \right)\,\,\,$ που επαληθεύουν το αρχικό .

add2math · #4

Από την ιδιότητα των αναλογιών, $\dfrac {a}{b} =\dfrac {c}{d}= \dfrac {a+c}{b+d}$ , έχουμε
$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \dfrac {x-1}{x^2+1} = \dfrac {y}{y^2+6}= \dfrac {x-1+y}{x^2+y^2+7}\\ \\ \dfrac {x}{x^2+6} = \dfrac {y-1}{y^2+1}= \dfrac {x-1+y}{x^2+y^2+7} \end{matrix}\right. }$
Άρα $\dfrac {x-1}{x^2+1} = \dfrac {x}{x^2+6}\Leftrightarrow x=2 \vee x=3$
Για x=2

προκύπτει με αντικατάσταση $y=2 \vee y=3$
Για x=3

προκύπτει $y=2 \vee y=3$ .
Τελικά $(x,y)=(2,2)\vee (x,y)=(2,3)\vee (x,y)=(3,2)\vee (x,y)=(3,3)$

#5

Doloros έγραψε: Παρ Μάιος 29, 2026 9:43 am
Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Μάιος 28, 2026 9:51 pm Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \dfrac {x-1}{x^2+1} = \dfrac {y}{y^2+6}\\ \\ \dfrac {x}{x^2+6} = \dfrac {y-1}{y^2+1} \end{matrix}\right. }$

(Την είδα χωρίς λύση σε μία εθνική Ολυμπιάδα. Η λύση μου έχει μία ωραία πονηριά, γι' αυτό θέλω να την μοιραστώ μαζί σας)
Παρατηρώ ότι αν εναλλάξω τα γράμματα προκύπτει το ίδιο σύστημα , άρα

Αν και πολλές φορές συμβαίνει ένα συμμετρικό σύστημα να έχει λύσεις τέτοιες ώστε x=y

, αυτό δεν είναι πάντα αληθές. Για παράδειγμα το σύστημα:

x+y=5

που έχει τις λύσεις (x,y)=(2,3), (3,2)

.

Αλέξανδρος

#6

add2math έγραψε: Παρ Μάιος 29, 2026 10:48 am Από την ιδιότητα των αναλογιών, $\dfrac {a}{b} =\dfrac {c}{d}= \dfrac {a+c}{b+d}$ , έχουμε
$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \dfrac {x-1}{x^2+1} = \dfrac {y}{y^2+6}= \dfrac {x-1+y}{x^2+y^2+7}\\ \\ \dfrac {x}{x^2+6} = \dfrac {y-1}{y^2+1}= \dfrac {x-1+y}{x^2+y^2+7} \end{matrix}\right. }$
Άρα $\dfrac {x-1}{x^2+1} = \dfrac {x}{x^2+6}\Leftrightarrow x=2 \vee x=3$
Για προκύπτει με αντικατάσταση $y=2 \vee y=3$
Για προκύπτει $y=2 \vee y=3$ .
Τελικά $(x,y)=(2,2)\vee (x,y)=(2,3)\vee (x,y)=(3,2)\vee (x,y)=(3,3)$

#7

cretanman έγραψε: Παρ Μάιος 29, 2026 11:48 am
Doloros έγραψε: Παρ Μάιος 29, 2026 9:43 am
Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Μάιος 28, 2026 9:51 pm Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \dfrac {x-1}{x^2+1} = \dfrac {y}{y^2+6}\\ \\ \dfrac {x}{x^2+6} = \dfrac {y-1}{y^2+1} \end{matrix}\right. }$

(Την είδα χωρίς λύση σε μία εθνική Ολυμπιάδα. Η λύση μου έχει μία ωραία πονηριά, γι' αυτό θέλω να την μοιραστώ μαζί σας)
Παρατηρώ ότι αν εναλλάξω τα γράμματα προκύπτει το ίδιο σύστημα , άρα
Αν και πολλές φορές συμβαίνει ένα συμμετρικό σύστημα να έχει λύσεις τέτοιες ώστε , αυτό δεν είναι πάντα αληθές. Για παράδειγμα το σύστημα:

που έχει τις λύσεις .

Αλέξανδρος

Αλέξανδρε γεια . Γράφω ότι επαληθεύουν το αρχικό.

Δείτε και παράγραφο 4.4 σχολικού , άλγεβρα Β Λυκείου . Βρίσκει πιθανές ρίζες και μετά με επαλήθευση βρίσκει ποίες θα κρατήσει .

Αν και δεν είμαι υπέρμαχος της μεθόδου ( λίγο μπακαλίστικα ) βρίσκει λύσεις.

Πάντως σ ευχαριστώ πολύ για την παρέμβαση .

#8

Υπάρχει και εδώ

#9

Καλημέρα σε όλους.

Έστω $\displaystyle \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{y}{{{y^2} + 6}} = \frac{1}{\lambda },\;\;\lambda \ne 0$ οπότε $displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = \lambda x - \lambda - 1\\ {y^2} = \lambda y - 6 \end{array} \right.$ (1)

Η 2η εξίσωση γίνεται $\displaystyle x\left( {{y^2} + 1} \right) = \left( {y - 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) \Leftrightarrow \left( {\lambda - 5} \right)x = - \left( {\lambda - 5} \right)y + \left( {\lambda - 5} \right)$ (2)

Αν $\displaystyle \lambda = 5$ , τότε η (1) δίνει $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 5x + 6 = 0\\ {y^2} - 5y + 6 = 0 \end{array} \right.$

με ζεύγη λύσεων $\displaystyle \left( {x,y} \right) = \left( {2,\;2} \right),\;\left( {3,\;3} \right),\;\left( {2,3} \right),\;\left( {3,\;2} \right)$

Αν $\displaystyle \lambda \ne 5$ , τότε η (2) δίνει $\displaystyle x = 1 - y$ που οδηγεί σε $\displaystyle x=1, y=0$ , που δεν επαληθεύει το αρχικό σύστημα.

#10

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Κυρ Μάιος 31, 2026 11:10 am Καλημέρα σε όλους.

Έστω $\displaystyle \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{y}{{{y^2} + 6}} = \frac{1}{\lambda },\;\;\lambda \ne 0$ οπότε $displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = \lambda x - \lambda - 1\\ {y^2} = \lambda y - 6 \end{array} \right.$ (1)

Η 2η εξίσωση γίνεται $\displaystyle x\left( {{y^2} + 1} \right) = \left( {y - 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) \Leftrightarrow \left( {\lambda - 5} \right)x = - \left( {\lambda - 5} \right)y + \left( {\lambda - 5} \right)$ (2)

Αν $\displaystyle \lambda = 5$ , τότε η (1) δίνει $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 5x + 6 = 0\\ {y^2} - 5y + 6 = 0 \end{array} \right.$

με ζεύγη λύσεων $\displaystyle \left( {x,y} \right) = \left( {2,\;2} \right),\;\left( {3,\;3} \right),\;\left( {2,3} \right),\;\left( {3,\;2} \right)$

Αν $\displaystyle \lambda \ne 5$ , τότε η (2) δίνει $\displaystyle x = 1 - y$ που οδηγεί σε $\displaystyle x=1, y=0$ , που δεν επαληθεύει το αρχικό σύστημα.

Ωραία σκέψη Γιώργο

#11

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Κυρ Μάιος 31, 2026 11:10 am Καλημέρα σε όλους.

Έστω $\displaystyle \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{y}{{{y^2} + 6}} = \frac{1}{\lambda },\;\;\lambda \ne 0$ οπότε $displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = \lambda x - \lambda - 1\\ {y^2} = \lambda y - 6 \end{array} \right.$ (1)

Η 2η εξίσωση γίνεται $\displaystyle x\left( {{y^2} + 1} \right) = \left( {y - 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) \Leftrightarrow \left( {\lambda - 5} \right)x = - \left( {\lambda - 5} \right)y + \left( {\lambda - 5} \right)$ (2)

Αν $\displaystyle \lambda = 5$ , τότε η (1) δίνει $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 5x + 6 = 0\\ {y^2} - 5y + 6 = 0 \end{array} \right.$

με ζεύγη λύσεων $\displaystyle \left( {x,y} \right) = \left( {2,\;2} \right),\;\left( {3,\;3} \right),\;\left( {2,3} \right),\;\left( {3,\;2} \right)$

Αν $\displaystyle \lambda \ne 5$ , τότε η (2) δίνει $\displaystyle x = 1 - y$ που οδηγεί σε $\displaystyle x=1, y=0$ , που δεν επαληθεύει το αρχικό σύστημα.

Οπωσδήποτε μια "κίνηση" που απλουστεύει τις πράξεις και δίδει γρήγορα και σωστά την πλήρη λύση .

Συμμετρικό σύστημα

Συμμετρικό σύστημα

Re: Συμμετρικό σύστημα

Re: Συμμετρικό σύστημα

Re: Συμμετρικό σύστημα

Re: Συμμετρικό σύστημα

Re: Συμμετρικό σύστημα

Re: Συμμετρικό σύστημα

Re: Συμμετρικό σύστημα

Re: Συμμετρικό σύστημα

Re: Συμμετρικό σύστημα

Re: Συμμετρικό σύστημα

Μέλη σε σύνδεση