Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

[athanasio]

Στην επιχειρηματολογία γιατί το 1 είναι ρίζα, εξήγησα σε μία παρένθεση γιατί δεν παίρνουμε άλλες δυνάμεις με σταθερό όρο το +-7.
Θεώρησα ότι αυτό είναι δεδομένο και για την εύρεση της πολλαπλότητας και δεν το επανέλαβα, για λόγους συντομίας.

Αλλά μου έκανε εντύπωση αυτό που είπατε ότι "έχει και περιττά"

[athanasio]

Επίσης τον όρο βαθμού 4 τον έλαβα υπόψιν μου και μάλιστα και στα δύο μέρη της λύσης!

Τον έγραψα όπως στην πάνω σειρά κι όχι ποιος είναι, για να αποφύγω το latex...
...και για να εξηγήσω καλύτερα τη λογική της λύσης.

EDIT: Αν δεν έγινε κατανοητό πού το χρησιμοποίησα, επιτρέψτε μου να γράψω ως επεξήγηση σε αυτά τα σημεία με ένα "δηλαδή..." τι εννοώ. Θεωρώ όμως ότι είναι περιττό.

[Mihalis_Lambrou]

Ας περιμένεις λοιπόν να δεις την πλήρη και παράλληλα λιτή λύση που θα γράψω, αν χρειαστεί.

[Nikitas K.]

ρίζα με πολλαπλότητα.png
.
Άσκηση 69
Σε ένα χαρτί είναι γραμμένο το εικονιζόμενο πολυώνυμο πέμπτου βαθμού, το οποίο έχει ακέραιους συντελεστές. Δυστυχώς ένα τμήμα του δεν φαίνεται γιατί σκεπάστηκε από μελάνι. Δίνεται ότι και οι ρίζες του πολυωνύμου είναι ακέραιοι αριθμοί. Δείξτε ότι η είναι ρίζα του πολυωνύμου, και να βρεθεί η πολλαπλότητά της.

Από τους τύπους του Βιετά:

Το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με ισότητα και

το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με ισότητα

Επομένως λόγω της :

Το γινόμενο των κατά απόλυτη τιμή ριζών είναι και πάλι ίσο με ισότητα

Επειδή το είναι πρώτος αριθμός, λόγω της και διότι οι ρίζες είναι ακέραιες προκύπτει ότι αυτές κατά απόλυτη τιμή είναι ίσες με ή

Έστω ότι όλες οι ρίζες κατά απόλυτη τιμή είναι ίσες τότε προκύπτει ότι το αριστερό μέλος της εκφράζεται ως η δύναμη κάποιας απόλυτης ρίζας και το δεξί μέλος της είναι ίσο με το οποίο είναι άτοπο.

Επομένως κάποια ρίζα κατά απόλυτη τιμή είναι ίση με

Έστω ότι κάποια από τις υπόλοιπες ρίζες κατά απόλυτη τιμή είναι ίση με τότε το αριστερό μέλος της θα ήταν φορές έναν φυσικό αριθμό και το δεξί μέλος ίσον με το οποίο είναι άτοπο.

Τελικά οι υπόλοιπες ρίζες κατά απόλυτη τιμή είναι ίσες με και λόγω της αναγκαστικά θα είναι όλες θετικές, διότι αν έστω και μία ήταν αρνητική το άθροισμά τους θα ήταν σίγουρα μικρότερο του που είναι άτοπο.

Εν κατακλείδι το αποτελεί ρίζα του πολυωνύμου με πολλαπλότητα και το είναι η άλλη ρίζα.

[Mihalis_Lambrou]

ρίζα με πολλαπλότητα.png
.
Άσκηση 69
Σε ένα χαρτί είναι γραμμένο το εικονιζόμενο πολυώνυμο πέμπτου βαθμού, το οποίο έχει ακέραιους συντελεστές. Δυστυχώς ένα τμήμα του δεν φαίνεται γιατί σκεπάστηκε από μελάνι. Δίνεται ότι και οι ρίζες του πολυωνύμου είναι ακέραιοι αριθμοί. Δείξτε ότι η είναι ρίζα του πολυωνύμου, και να βρεθεί η πολλαπλότητά της.

.
Νικήτα, ακριβώς αυτή την λύση έχω κατά νου. Επειδή η άσκηση είναι κατασκευής μου, και είχε επιλεγεί στον διαγωνισμό Καγκουρό το 2023, καταγράφω εδώ την λύση που δημοσίευσα τότε στο σχετικό βιβλίο μου.

Eπειδή οι ρίζες του είναι ακέραιοι αριθμοί, διαιρούν τον σταθερό όρο. Άρα είναι το πολύ της μορφής και άρα το πολυώνυμο έχει παράγοντες που συγκαταλέγονται στους και (κάποια επιλογή). Αν συμβολίσουμε με τις πέντε ρίζες έχουμε

(*) και (**)

Από την (**) συμπεραίνουμε ότι κάποια από τις ρίζες είναι διότι δεν μπορεί να είναι όλες . Από την άλλη δεν μπορεί να έχουμε δύο ή περισσότερα -ρια ως ρίζες γιατί το γινόμενο θα ήταν ή μεγαλύτερο κατ΄ απόλυτη τιμή, πάντως όχι . Με άλλα λόγια, ρίζα του πολυωνύμου είναι είτε ο ή ο (ακριβώς ένα από αυτά).

Από την (*) έχουμε ότι το άθροισμα των ριζών είναι . Ο μόνος τρόπος για να πάρουμε το ως άθροισμα ενός και τεσσάρων είναι (άμεσο). Άρα οι ρίζες είναι ο , με πολλαπλότητα , και ο 7. Έπεται ότι, τελικά, το πολυώνυμο είναι το . Αν θέλουμε να το δούμε ολογράφως, είναι το .