Σύστημα μια σταλιά δύο επί τρία

KARKAR · #1

Βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακεραίων (x , y , z )

, με :

,

για τις οποίες ισχύουν :

x+y+\sqrt{xy}=z

και :

x^2+y^2+xy=7z

.

#2

Αντικαθιστώ την πρώτη στη δεύτερη εξίσωση και έχω

x^2+y^2+xy=7(x+y+\sqrt{xy}) \Leftrightarrow (x+y+\sqrt{xy})(x+y-\sqrt{xy})=7(x+y+\sqrt{xy}) \Leftrightarrow x+y-\sqrt{xy}=7 \ \ (1)

.

Από τη συγκεκριμένη ισότητα πρέπει το

να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Επιπλέον από την ΑΜ-ΓΜ παίρνουμε

x+y\geq 2\sqrt{xy} \Leftrightarrow x+y-\sqrt{xy}\geq \sqrt{xy} \Leftrightarrow \sqrt{xy}\leq 7 \Leftrightarrow xy\leq 49

κι έτσι

xy\in\{1,4,9,16,25,36,49\}

και αφού

άρα τα ζεύγη που ικανοποιούν την (1)

είναι πολύ εύκολο να τα βρούμε.

Για παράδειγμα αν xy=36

τότε

(x,y)\in\{(1,36), (2,18), (3,12), (4,9)\}

και από αυτά την (1)

την ικανοποιεί μόνο το

(x,y)=(4,9)

.

Τα δυνατά ζεύγη είναι τα

(x,y)=(1,9)

και

(x,y)=(4,9)

και τελικά έχουμε τις τριάδες

(x,y,z)=(1,9,13)

και

(x,y,z)=(4,9,19)

.

Αλέξανδρος

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιουν 27, 2026 5:07 pm Βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακεραίων , με : ,

για τις οποίες ισχύουν : $x+y+\sqrt{xy}=z$ και : $x^2+y^2+xy=7z$ .

.
Από την πρώτη το

πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο και άρα (απλή και γνωστή ιδιότητα από την ανάλυση σε πρώτους) ότι

x=a^2c, \, y= b^2c

για κάποιους θετικούς ακέραιους $a,\,b,\,c$ . Η πρώτη εξίσωση τώρα γράφεται

(a^2+b^2-ab)c=z

Η δεύτερη εξίσωση γράφεται

7z= x^2+y^2+xy=(x+y+\sqrt{xy})(x+y-\sqrt{xy})= z (x+y-\sqrt{xy})

άρα

7=x+y-\sqrt{xy} = (a^2+b^2-ab)c

. Συνεπώς είτε

α)

a^2+b^2- ab= 1, \, c=7

ή β)

a^2+b^2-ab= 7, \, c=1

. 'Ετσι

α)

a^2-ab+(b^2-1)=0

(*) που ως δευτεροβάθμια ως προς

έχει διακρίνουσα

D= 4-3b^2

, Τώρα, άφού εργαζόμαστε στους ακεραίοιυς, πρέπει να είναι $D\ge 0$ και να είναι τέλειο τετράγωνο. Αυτό το πετυχαίνουμε (μόνο) όταν b=1

οπότε

. Σε αυτή την περίπτωση η (*) δίνει a=1

οπότε

(a,b,c)=(1,1,7)

και άρα

(x,y,z)=(7,7,7)

. Απορρίπτεται λόγω του περιορισμού x<y

.

β)

a^2-ab+(b^2-7)=0

(*) που ως δευτεροβάθμια ως προς

έχει διακρίνουσα

D= 28-3b^2

, Τώρα, άφού εργαζόμαστε στους ακεραίοιυς, πρέπει να είναι $D\ge 0$ και να είναι τέλειο τετράγωνο. Αυτό το πετυχαίνουμε όταν b=1

οπότε

D=25

ή όταν

οπότε

. Σε αυτές τις περιπτώσεις παίρνουμε

(a,b,c)=(2,3,1)

ή

(a,b,c)=(1,3,1)

και άρα

\boxed {(x,y,z)=(4,9,19)}

ή

\boxed {(x,y,z)=(1,9,13)}

.

Σύστημα μια σταλιά δύο επί τρία

Σύστημα μια σταλιά δύο επί τρία

Re: Σύστημα μια σταλιά δύο επί τρία

Re: Σύστημα μια σταλιά δύο επί τρία

Μέλη σε σύνδεση