Άρρητη με απόλυτο

Al.Koutsouridis · #1

Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση

$1+\dfrac{\sqrt{2x^2+1}}{|x|} -\left ( x^2+x\right ) \left (1+ \sqrt{x^2+2x+3}\right )=0$ .

(Για Γ' Λυκείου)

#2

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

$\dfrac{1+\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}}{1+\sqrt{(x+1)^2+2}}=x(x+1)$

Προφανώς x(x+1)>0.

Έστω

μια λύση της εξίσωσης.

$\bullet$ Αν a(a+1)>1

τότε $\dfrac{1+\sqrt{2+\dfrac{1}{a^2}}}{1+\sqrt{(a+1)^2+2}}>1$ οπότε $\dfrac{1}{a^2}>(a+1)^2$ ή [a(a+1)]^2<1,

άτοπο.

$\bullet$ Αν 0<a(a+1)<1

τότε ομοίως $\dfrac{1}{a^2}<(a+1)^2$ οπότε [a(a+1)]^2>1,

άτοπο.

$\bullet$ Αν a(a+1)=1

τότε η εξίσωση επαληθεύεται οπότε οι $\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ και $\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ είναι όλες οι λύσεις της εξίσωσης.

Άρρητη με απόλυτο

Άρρητη με απόλυτο

Re: Άρρητη με απόλυτο

Μέλη σε σύνδεση