Διοφαντική εξίσωση

#1

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι a,b,c

για τους οποίους ισχύει a^2+b+3=(b^2-c^2)^2

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ορέστης Λιγνός · #2

achilleas έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 03, 2022 9:01 pm
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι για τους οποίους ισχύει .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Καλή!

Αν b=c

, τότε

άτοπο.

Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις:

Περίπτωση 1: b>c

. Τότε, έστω b^2-c^2=k

, οπότε και

a^2+b+3=k^2,

με $k \in \mathbb{N^*}$ .

Είναι k=(b-c)(b+c)

, άρα είναι b-c=d_1

και

με

και

. Επίσης,

$d_2 \equiv b+c \equiv (b-c)+2c \equiv b-c \equiv d_2 \pmod 2$ .

Τώρα, είναι

$b=\dfrac{(b+c)+(b-c)}{2}=\dfrac{d_1+d_2}{2}$ .

Έχουμε ότι,

$a^2=k^2-b-3=(d_1d_2)^2-\dfrac{d_1+d_2}{2}-3<(d_1d_2)^2,$

συνεπώς a<d_1d_2

, και άρα $a \leq d_1d_2-1$ , που δίνει ότι

$(d_1d_2)^2-\dfrac{d_1+d_2}{2}-3=a^2 \leq (d_1d_2-1)^2=(d_1d_2)^2-2d_1d_2+1,$

άρα

$4d_1d_2 \leq d_1+d_2+8,$

που γράφεται ως

$(4d_1-1)(4d_2-1) \leq 33$

Είναι, d_2>d_1

, άρα

$33 \geq (4d_1-1)(4d_2-1)>(4d_1-1)^2,$

που δίνει ότι d_1=1

, και άρα $d_2 \leq 3$ , συνεπώς αφού $d_2 \equiv d_1 \equiv 1 \pmod 2$ , πρέπει d_2=3

. Τελικά, $b=2, \, c=1$ και a=2

.

Περίπτωση 2: b<c

. Τότε, έστω c^2-b^2=k

, οπότε και

a^2+b+3=k^2,

με $k \in \mathbb{N^*}$ .

Είναι, k=(c-b)(c+b)

, άρα

και

με

και, όπως πριν, d_2>d_1

και $d_1 \equiv d_2 \pmod 2$ . Επίσης,

$b=\dfrac{(c+b)-(c-b)}{2}=\dfrac{d_2-d_1}{2}$

Τώρα, είναι

$a^2=k^2-b-3=(d_1d_2)^2-\dfrac{d_2-d_1}{2}-3<(d_1d_2)^2,$

άρα a<d_1d_2

, που δίνει ότι $a \leq d_1d_2-1$ , συνεπώς

$a^2=(d_1d_2)^2-\dfrac{d_2-d_1}{2}-3<(d_1d_2-1)^2=(d_1d_2)^2-2d_1d_2+1,$

άρα 4d_1d_2<8+d_2-d_1,

οπότε και

δηλαδή επιστρέφουμε στην προηγούμενη περίπτωση, άρα d_1=1

και

, όμως τότε είναι,

10=8+d_2-d_1>4d_1d_2=12,

άτοπο.

Τελικά, μόνη λύση η (a,b,c)=(2,2,1)

.

#3

Αλλιώς:

Για b>c

είναι $b+3=(b^2-c^2+a)(b^2-c^2-a)\geq b^2-c^2+a=(b+c)(b-c)+a\geq a+b+c$ οπότε $a+c\leq 3$
(προφανώς $b^2-c^2-a\geq 1$ )

Για c>b

είναι $b+3=(c^2-b^2+a)(c^2-b^2-a)\geq c^2-b^2+a=(b+c)(c-b)+a\geq a+b+c$ οπότε $a+c\leq 3$
(προφανώς $c^2-b^2-a\geq 1$ )

Σε κάθε περίπτωση $a+c\leq 3$ οπότε $(a,c)\in \{(1,1),(1,2),(2,1)\}$ και εύκολα βρίσκουμε και το

σε κάθε περίπτωση...

Διοφαντική εξίσωση

Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση