Ακέραια παράσταση

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 20, 2023 12:52 am
Δίνεται ότι η παράσταση ${{a}^{2}}+2b$ είναι τετράγωνο ενός ακεραίου . Να δεχθεί

ότι εάν οι και είναι ακέραιοι, τότε οι και θα είναι και οι δύο άρτιοι ή και

οι δύο περιττοί και ο ακέραιος ${{a}^{2}}+b$ θα ισούται με το άθροισμα δύο ακεραίων

τετραγώνων.

Έστω $\displaystyle{a^2 +2b = k^2}$ , (1)

Αν $\displaystyle{a}$ άρτιος, τότε και ο $\displaystyle{a^2 +2b}$ θα είναι άρτιος, άρα και ο $\displaystyle{k^2}$ άρτιος και συνεπώς $\displaystyle{k}$ άρτιος.

Όμοια και αν $\displaystyle{a}$ περιττός, τότε $\displaystyle{a^2 +2b}$ περιττός και άρα $\displaystyle{k^2}$ περιττός, άρα $\displaystyle{k}$ περιττός.

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Έστω $\displaystyle{a , k}$ άρτιοι. Τότε $\displaystyle{a=2A , k=2K}$ , με $\displaystyle{A , K}$ ακεραίους.

H (1) γράφεται: $\displaystyle{4A^2 +2b=4K^2 \Rightarrow b=2K^2 -2A^2}$

Άρα: $\displaystyle{a^2 +b =4A^2 +(2K^2 -2A^2 )=2A^2 +2K^2 =(A+K)^2 + (A-K)^2 }$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Έστω $\displaystyle{a , k }$ περιττοί. Τότε $\displaystyle{a=2A+1 , k=2K+1}$ και η (1) γράφεται:

$\displaystyle{4A^2 +4A+1 +2b=4K^2 +4K+1\Rightarrow b=2K^2 +2K-2A^2 -2A}$

Άρα:

$\displaystyle{a^2 +b= 4A^2 +4A+1 +2K^2 +2K-2A^2 -2A = 2A^2 +2K^2 +2A +2K +1 =(A-K+1)^2 +(A+K)^2}$

Ακέραια παράσταση

Ακέραια παράσταση

Re: Ακέραια παράσταση

Μέλη σε σύνδεση