Σελίδα 1 από 1

Βρείτε τις συναρτήσεις

Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 21, 2016 2:41 am
από socrates
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{ f(x y) (x + f(y)) = x^2 f(y) + y^2 f(x)  ,} για κάθε x,y \in \mathbb{R}.

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 21, 2016 10:57 am
από Λάμπρος Μπαλός
socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{ f(x y) (x + f(y)) = x^2 f(y) + y^2 f(x)  ,} για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
Για x=y=0 \Rightarrow f^{2}(0)=0 \Leftrightarrow f(0)=0

Για y=1 \Rightarrow f(x)(x+f(1))=x^{2}f(1)+f(x) \Leftrightarrow f(x)[x+f(1)-1]=x^{2}f(1) (1)

Για x=1 : f^{2}(1)=f(1) \Rightarrow f(1)=0 ή f(1)=1

Αν f(1)=1 , τότε xf(x)=x^{2} \Leftrightarrow f(x)=x , \forall x \in R , αφού και f(0)=0

Αν f(1)=0 , τότε f(x)(x-1)=0 \Leftrightarrow f(x)=0 , \forall x \in R , αφού και f(1)=0.

Επαληθεύουν και οι δύο.

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 27, 2016 11:50 pm
από socrates
:coolspeak: