Βρείτε τις συναρτήσεις

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Βρείτε τις συναρτήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Οκτ 28, 2016 5:37 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{f(x + y) + f(x + z) - f(x)f(y + z) \geq  1, } για κάθε x,y,z \in \mathbb{R}.


Δυσκολότερη έκδοση:
viewtopic.php?f=184&t=56173


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6169
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Οκτ 28, 2016 11:10 pm

\displaystyle{x=y=z=0:} \displaystyle{(f(0)-1)^2\leq 0\implies f(0)=1}

\displaystyle{\bullet} \displaystyle{z=0:} \displaystyle{f(x+y)+f(x)\geq 1+f(x)f(y)~~\forall x,y} (\displaystyle{\bf\color{red}1})

\displaystyle{\bullet} \displaystyle{x=0:} \displaystyle{f(y)+f(z)\geq 1+f(y+z)} (\displaystyle{\bf\color{red}2})

Στην (\displaystyle{\bf\color{red}1}) \displaystyle{y=x:} \displaystyle{1+f^2(x)\leq f(x)+f(2x)} (\displaystyle{\bf\color{red}3})

Στην (\displaystyle{\bf\color{red}2}) \displaystyle{y=z=x:} \displaystyle{1+f(2x)\leq 2f(x)} (\displaystyle{\bf\color{red}4})

(\displaystyle{\bf\color{red}3}) \displaystyle{\wedge} (\displaystyle{\bf\color{red}4}) \displaystyle{\implies f(x)\geq 1.} (\displaystyle{\bf\color{red}5})

Στην (\displaystyle{\bf\color{red}1}) \displaystyle{y=-x:} \displaystyle{f(x)\geq f(x)f(y)\stackrel{(\bf{\color{red}5})}{\implies} f(y)\leq 1.}

Αυτή μαζί με την (\displaystyle{\bf\color{red}5}) μας λένε ότι \displaystyle{f(x)\equiv 1.} Η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί την αρχική, οπότε είναι η μοναδική λύση.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Οκτ 29, 2016 7:37 am

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε

\displaystyle{f(x + y) + f(x + z) - f(x)f(y + z) \geq  1, (1)} για κάθε x,y,z \in \mathbb{R}.
x=y=z=0\quad (1)\Rightarrow f(0)=1

y=z=0\quad (1)\Rightarrow f(x)\geq 1(\bigstar),x\in \mathbb R

y=0,z=-x\quad (1)\Rightarrow f(x)\geq f(x)f(-x)\stackrel{(\bigstar)}\Rightarrow f(-x)\leq 1\Rightarrow f(x)\leq 1,x\in \mathbb R

Άρα f(x)=1,x\in \mathbb R,δεκτή.


Φωτεινή Καλδή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Οκτ 29, 2016 1:44 pm

Σωστά! :clap2:


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης