Βρείτε τις συναρτήσεις!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Βρείτε τις συναρτήσεις!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Οκτ 28, 2016 5:41 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{f(f(x)+2y)=f(2x+y)+2y, } για κάθε x,y\in \mathbb{R}.


Δυσκολότερη έκδοση:
viewtopic.php?f=184&t=56175


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Παρ Οκτ 28, 2016 6:18 pm

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε

\displaystyle{f(f(x)+2y)=f(2x+y)+2y,(1) } για κάθε x,y\in \mathbb{R}.
Γεια σου Θανάση.

Έστω f(0)=a

x=0 \quad (1)\Rightarrow f(a+2y)=f(y)+2y\quad (2)

y=-a\quad (2)\Rightarrow a=0\Rightarrow f(0)=0

y=0\quad (1)\Rightarrow f(f(x))=f(2x) και η (2)\Rightarrow f(2x)=f(x)+2x,άρα

f(f(x))=f(2x)=f(x)+2x, η f 1-1 στο \mathbb R

y\to -\dfrac{f(x)}{2},(1)\Rightarrow f(2x-\dfrac{f(x)}{2})=f(x)\Rightarrow f(x)=2x,x\in \mathbb R ικανοποιεί την αρχική.


Φωτεινή Καλδή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Οκτ 28, 2016 6:54 pm

:coolspeak:



Αλλιώς:
Θέτουμε y=2x-f(x) και άμεσα βγαίνει f(x)=2x.


Αλλιώς:
Αν f(a)=f(b) τότε f(2a+x)=f(2b+x) ή f(x)=f(x+2a-2b).
Θέτοντας y:=y+2a-2b έχουμε a=b. Οπότε η f είναι 1-1.
Από την f(f(x))=f(2x) έχουμε f(x)=2x.


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης