Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Από τα δεδομένα έχουμε: , όμως αριστερά έχουμε περιττό, άρα αναγκαστικά και δεξιά, άρα κρατάμε το 5 (άρα πάνω έχουμε το 10), άρα το πρόσημο του είναι . Συνεχίζοντας: και πάλι κρατάμε το άρα το πρόσημο του είναι .
, κρατάμε το άρα το πρόσημο του είναι . κρατάμε το άρα το πρόσημο του είναι . , άρα το πρόσημο του είναι . Γνωρίζουμε τους συντελεστές όλων των όρων εκτός του άρα "βάζουμε" στο πολυώνυμο το και βρίσκουμε ότι το πρόσημο του είναι . Τελικά το ζητούμενο πολυώνυμο είναι το .
, κρατάμε το άρα το πρόσημο του είναι . κρατάμε το άρα το πρόσημο του είναι . , άρα το πρόσημο του είναι . Γνωρίζουμε τους συντελεστές όλων των όρων εκτός του άρα "βάζουμε" στο πολυώνυμο το και βρίσκουμε ότι το πρόσημο του είναι . Τελικά το ζητούμενο πολυώνυμο είναι το .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Ωραία η λύση του llenny παραπάνω, με αξιοποίηση του τελευταίου όρου του εκάστοτε πολυωνύμου. Ας δούμε μία διαφορετική, με αξιοποίηση του πρώτου όρου.
έχουν το πρόσημο του πρώτου όρου. Έτσι η ή αλλιώς
δίνει ότι ο πρώτος όρος είναι . Έχουμε δηλαδή
οπότε και
Με το ίδιο επιχείρημα ο νέος πρώτος όρος είναι , οπότε τώρα
. Και ξανά, ο πρώτος όρος είναι , οπότε
. Και λοιπά. Τελικά το πολυώνυμο είναι το
.
Δεδομένου ότι, γενικά, (διότι το δεξί μέλος ισούται ) έπεται ότι αθροίσματα της μορφήςMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 31, 2021 12:39 amΆσκηση 45
Ένα πολυώνυμο είναι της μορφής για κάποια επολογή των προσήμων. Αν , να βρεθεί πολυώνυμο.
έχουν το πρόσημο του πρώτου όρου. Έτσι η ή αλλιώς
δίνει ότι ο πρώτος όρος είναι . Έχουμε δηλαδή
οπότε και
Με το ίδιο επιχείρημα ο νέος πρώτος όρος είναι , οπότε τώρα
. Και ξανά, ο πρώτος όρος είναι , οπότε
. Και λοιπά. Τελικά το πολυώνυμο είναι το
.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 46
Ενός πολυωνύμου όλοι οι συντελεστές ανήκουν στο σύνολο .
Να βρεθεί το πολυώνυμο αν είναι γνωστό ότι .
Ενός πολυωνύμου όλοι οι συντελεστές ανήκουν στο σύνολο .
Να βρεθεί το πολυώνυμο αν είναι γνωστό ότι .
-
- Δημοσιεύσεις: 67
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 14, 2017 5:59 pm
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 01, 2021 2:43 pmΆσκηση 46
Ενός πολυωνύμου όλοι οι συντελεστές ανήκουν στο σύνολο .
Να βρεθεί το πολυώνυμο αν είναι γνωστό ότι .
Μια πρόχειρη προσπάθεια:
Αναπαριστούμε στο τριαδικό σύστημα:
οπότε
και
οπότε μπορούμε να επιλέξουμε
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 01, 2021 2:43 pmΆσκηση 46
Ενός πολυωνύμου όλοι οι συντελεστές ανήκουν στο σύνολο .
Να βρεθεί το πολυώνυμο αν είναι γνωστό ότι .
Με όμοιο τρόπο με τον .
Έστω και , τότε:
Από την συνθήκη έχουμε:
Άρα
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 31, 2021 12:39 amΆσκηση 45
Ένα πολυώνυμο είναι της μορφής για κάποια επολογή των προσήμων. Αν , να βρεθεί πολυώνυμο.
Κάνει και για Juniors.
Μια διαφορετική προσέγγιση: Θέτω και παρατηρώ ότι το είναι πολυώνυμο με συντελεστές στο . Επειδή τότε και άρα .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 47
Δείξτε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές το οποίο να ικανοπεί
(Κάνει και για Γυμνάσιο)
Δείξτε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές το οποίο να ικανοπεί
(Κάνει και για Γυμνάσιο)
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 48
Αν το πολυώνυμο : , έχει ρίζα τον πραγματικό , υπολογίστε
την τιμή της παράστασης : .
Αν το πολυώνυμο : , έχει ρίζα τον πραγματικό , υπολογίστε
την τιμή της παράστασης : .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απάντηση:
Αφού το είναι ρίζα, έχουμε , για κάποια . H παράσταση τότε γράφεται
(τα υπόλοιπα απλοποιήθηκαν μετά τις πράξεις).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΈστωMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 10, 2022 8:27 amΆσκηση 47
Δείξτε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές το οποίο να ικανοποιεί
(Κάνει και για Γυμνάσιο)
ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές.
Από υπόθεση έχουμε:
, (ΣΧΕΣΗ 1)
, (ΣΧΕΣΗ 2)
Με αφαίρεση κατά μέλη των δύο πιο πάνω σχέσεων βρίσκουμε:
, όπου οι αριθμοί είναι ακέραιοι
Άρα .
Όμως το πρώτο μέλος της πιο πάνω εξίσωσης είναι άρτιος ενώ το δεύτερο περιττός και άρα καταλήξαμε σε άτοπο.
Άρα δεν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 49
Αν μιγαδική πέμπτη ρίζα της μονάδας, να αποδείξετε ότι υπάρχουν πολυώνυμα και με ακέραιους συντελεστές τέτοια ώστε
Αν μιγαδική πέμπτη ρίζα της μονάδας, να αποδείξετε ότι υπάρχουν πολυώνυμα και με ακέραιους συντελεστές τέτοια ώστε
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 50
'Εστω μονικό πολυώνυμο πέμπτου βαθμού με πέντε διαφορετικές πραγματικές ρίζες . Να αποδείξετε ότι .
Edit: Πρόσθεσα δύο λέξεις για να μην υπάρχει αμφιβολία για το τι ακριβώς πολυώνυμο συζητάμε.
'Εστω μονικό πολυώνυμο πέμπτου βαθμού με πέντε διαφορετικές πραγματικές ρίζες . Να αποδείξετε ότι .
Edit: Πρόσθεσα δύο λέξεις για να μην υπάρχει αμφιβολία για το τι ακριβώς πολυώνυμο συζητάμε.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Ιαν 07, 2023 8:18 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Ασκηση 50:
Αν ένα μονικό πολυώνυμο έχει πραγματικές ρίζες τότε αν οι ρίζες του ισχύει , άρα για τη παράγωγο του ισχύει:
Τελικά το ζητούμενο άθροισμα λόγω του μηδενισμού των υπόλοιπων όρων το ζητούμενο άθροισμα ισούται με και αρκεί να δείξουμε ότι αυτό είναι μη αρνητικό, δηλαδή ότι Η ανισότητα είναι συμμετρική και θεωρούμε δίχως βλάβη της γενικότητας ότι . Έχουμε αφού , άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι μη αρνητικό και τελειώσαμε.
(Υπήρχε λάθος το οποίο διόρθωσα άρα η λύση αυτή δε δουλεύει αν το πολυώνυμο έχει π.χ. 5 πραγματικές ρίζες και 10 μιγαδικές ρίζες αλλά δουλεύει αν έχει 5 πραγματικές και μόνον αυτές. Δε γνωρίζω αν ισχύει η γενικότερη πρόταση και υπάρχει άλλη απόδειξη.)
Αν ένα μονικό πολυώνυμο έχει πραγματικές ρίζες τότε αν οι ρίζες του ισχύει , άρα για τη παράγωγο του ισχύει:
Τελικά το ζητούμενο άθροισμα λόγω του μηδενισμού των υπόλοιπων όρων το ζητούμενο άθροισμα ισούται με και αρκεί να δείξουμε ότι αυτό είναι μη αρνητικό, δηλαδή ότι Η ανισότητα είναι συμμετρική και θεωρούμε δίχως βλάβη της γενικότητας ότι . Έχουμε αφού , άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι μη αρνητικό και τελειώσαμε.
(Υπήρχε λάθος το οποίο διόρθωσα άρα η λύση αυτή δε δουλεύει αν το πολυώνυμο έχει π.χ. 5 πραγματικές ρίζες και 10 μιγαδικές ρίζες αλλά δουλεύει αν έχει 5 πραγματικές και μόνον αυτές. Δε γνωρίζω αν ισχύει η γενικότερη πρόταση και υπάρχει άλλη απόδειξη.)
τελευταία επεξεργασία από llenny σε Σάβ Ιαν 07, 2023 2:02 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Σε έβαλα σε φασαρία. Όταν έγραφα ότι το έχει πέντε πραγματικές ρίζες, εννούσα ότι δεν έχει άλλες εκτός από αυτές. 'Ισως παράληψή μου που δεν το διευκρίνισα.
Οπότε έχουμε , δηλαδή , και έτσι γλιτώνουμε κάποιες πράξεις.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Δεκ 23, 2022 10:05 amΆσκηση 49
Αν μιγαδική πέμπτη ρίζα της μονάδας, να αποδείξετε ότι υπάρχουν πολυώνυμα και με ακέραιους συντελεστές τέτοια ώστε
Είναι
Αλλά επειδή είναι
θα έχουμε
Αρα
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Αν και έχει λυθεί να σημειώσω πως μπορεί να απλοποιηθεί η λύση.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 05, 2023 7:07 pmΆσκηση 50
'Εστω μονικό πολυώνυμο με πέντε διαφορετικές πραγματικές ρίζες . Να αποδείξετε ότι .
(Tην άσκηση αυτή την είχα αναρτήσει παλαιότερα αλλά από λάθος μου την έσβησα. Την επαναφέρω. Ως άσκηση μου αρέσει πολύ).
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι ρίζες είναι
(Η παράσταση δεν αλλάζει αν )
Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι
Ισχύει γνήσια ανισότητα.
Εχει ενδιαφέρον ότι ισχύουν οι σχέσεις
και
Οι αποδείξεις που γνωρίζω είναι εκτός φακέλλου.
Να σημειωθεί ότι οι παραπάνω σχέσεις γενικεύονται και για πολυώνυμα μεγαλύτερου βαθμού.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Για λόγους πληρότητας γράφω την λύση αναλυτικότερα, και με την διευκρίνιση ότι το πολυώνυμο είναι πέμπτου βαθμού. Δεν λέω τίποτα καινούργιο αλλά απλά καθαρογράφω τις δύο ήδη αναφερθείσες λύσεις. Αυτό που μου αρέσει στην άσκηση (και γι' αυτό την ανάρτησα) είναι το τέχνασμα που αναφέρει ο Σταύρος στην πέμπτη γραμμή του ποστ του.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 05, 2023 7:07 pmΆσκηση 50
'Εστω μονικό πολυώνυμο πέμπτου βαθμού με πέντε διαφορετικές πραγματικές ρίζες . Να αποδείξετε ότι .
Edit: Πρόσθεσα δύο λέξεις για να μην υπάρχει αμφιβολία για το τι ακριβώς πολυώνυμο συζητάμε.
Χωρίς βλάβη οι ρίζες ικανοποιούν . Θα δείξουμε ότι α) , β) , γ)
Έχουμε , από όπου εύκολα βρίσκουμε το (ως κάποιο άθροισμα με πέντε προσθετέους. Άρα
το β) είναι άμεσο:
Για το α)
Εδώ ο πρώτος (και κοινός) παράγοντας είναι . Επίσης η παράσταση μέσα στις είναι θετική διότι
και και . Πολλαπλασιάζουμε τώρα κατά μέλη, από όπου το ζητούμενο.
Για το γ) εργαζόμαστε ακριβώς όπως στο αλλά βγάζοντας τον κοινό παράγοντα . Τελειώσαμε.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 51
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με για κάθε , όπου οι αριθμοί Fibonacci
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με για κάθε , όπου οι αριθμοί Fibonacci
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Αν υπήρχε θα είχαμεMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Μαρ 17, 2023 10:05 pmΆσκηση 51
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με για κάθε , όπου οι αριθμοί Fibonacci
(άτοπο). Μπορούμε λοιπόν να χαλαρώσουμε την εκφώνηση:
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με από κάποιο και πέρα όπου οι αριθμοί Fibonacci.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Ωραιότατα.Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Παρ Μαρ 17, 2023 11:13 pmΑν υπήρχε θα είχαμεMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Μαρ 17, 2023 10:05 pmΆσκηση 51
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με για κάθε , όπου οι αριθμοί Fibonacci
(άτοπο). Μπορούμε λοιπόν να χαλαρώσουμε την εκφώνηση:
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με από κάποιο και πέρα όπου οι αριθμοί Fibonacci.
Υπάρχει και δεύτερη λύση χωρίς χρήση ορίων. Ας την δούμε και αυτήν.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 9 επισκέπτες