Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3794
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#101

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Ιαν 12, 2018 8:19 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Ιαν 12, 2018 4:09 pm

ΑΣΚΗΣΗ 27

Δείξτε ότι αν ο αριθμός 1+2^n+4^n είναι πρώτος, τότε n=3^k για κάποιο φυσικό k.
Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα:

Αν ο n δε διαιρείται με το 3 τότε το πολυώνυμο x^{2n}+x^n+1 διαιρείται από το x^2+x+1

Απόδειξη

Αν n=3k+1 τότε 2n=2(3k+1)=3m+2 άρα

\begin{aligned}x^{2n}+x^n+1 &=x^{3m+2}+x^{3k+1}+1\equiv \left(x^3\right)^m\cdot x^2 + \left(x^3\right)^k \cdot x+1 \\ &\equiv 1\cdot x^2+1\cdot x+1 \equiv 0\pmod{(x^2+x+1)}\end{aligned}
διότι x^3\equiv 1\pmod{(x^2+x+1)}

Όμοια αν n=3k+2 τότε 2n=3m+1 και παίρνουμε και πάλι ότι x^{2n}+x^n+1 \equiv 0\pmod{(x^2+x+1)} \blacksquare

Επιστρέφουμε στην άσκηση:

Από το παραπάνω λήμμα αν ο n δεν διαιρείται από το 3 τότε για x=2 παίρνουμε ότι ο A=4^n+2^n+1 διαιρείται από το 2^2+2+1=7 άρα δεν είναι πρώτος.

Άρα για να είναι ο A πρώτος πρέπει ο n να διαιρείται από το 3. Αν n=3^k\cdot l, \ l>1 όπου k η μεγαλύτερη δύναμη του 3 που υπάρχει στο k (δηλαδή 3\nmid l) τότε με όμοιο επιχείρημα επειδή ο αριθμός \left(x^{3^k}\right)^{2l}+\left(x^{3^k}\right)^l+1 είναι πρώτος πρέπει ο l να διαιρείται από το 3 (από το παραπάνω Λήμμα), άτοπο. Άρα l=1 και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης

Λέξεις Κλειδιά:
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1167
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#102

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Παρ Ιαν 12, 2018 8:36 pm

Ωραία και κλασική άσκηση που φαίνεται η δύναμη των πολυωνύμων. Υπάρχει και στον Engel και στο βιβλίο Μαθ. Διαγωνισμοί ΙΙ.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10056
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#103

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 31, 2018 9:07 pm

ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν r_1,\,r_2,\,r_3 οι ρίζες της x^3+x^2-4x+1=0, να βρεθεί η τιμή της παράστασης \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} (άθροισμα κλασματικών μερών), χωρίς να επιλυθεί η εξίσωση.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3794
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#104

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Κυρ Απρ 01, 2018 11:32 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Μαρ 31, 2018 9:07 pm
ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν r_1,\,r_2,\,r_3 οι ρίζες της x^3+x^2-4x+1=0, να βρεθεί η τιμή της παράστασης \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} (άθροισμα κλασματικών μερών), χωρίς να επιλυθεί η εξίσωση.
Από τους τύπους Vieta παίρνουμε r_1+r_2+r_3=-1 δηλαδή [r_1]+[r_2]+[r_3]+\{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\}=-1 και αφού ισχύει 0\leq \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} <3 άρα παίρνουμε -4<[r_1]+[r_2]+[r_3]\leq -1.

\blacksquare Αν [r_1]+[r_2]+[r_3] =-1 τότε \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\}=0 κι έτσι \{r_1\}=\{r_2\}=\{r_3\}=0, άτοπο αφού η αρχική εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες.

\blacksquare Αν [r_1]+[r_2]+[r_3]=-3 τότε \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\}=2. Αν ορίσουμε f(x)=x^3+x^2-4x+1, τότε αφού f(-3)\cdot f\left(-\dfrac{5}{2}\right)<0, f(0)\cdot f\left(\dfrac{1}{2}\right)<0 και f(1)\cdot f\left(\dfrac{3}{2}\right)<0 άρα για τις ρίζες ισχύει 0 < \{r_i\} <\dfrac{1}{2}, \ i=1,2,3 κι έτσι 0 < \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} <\dfrac{3}{2} < 2, άτοπο.

Άρα τελικά πρέπει [r_1]+[r_2]+[r_3]=-2 και τελικά \boxed{ \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\}=1}.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10056
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#105

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Απρ 02, 2018 8:09 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Μαρ 31, 2018 9:07 pm
ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν r_1,\,r_2,\,r_3 οι ρίζες της x^3+x^2-4x+1=0, να βρεθεί η τιμή της παράστασης \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} (άθροισμα κλασματικών μερών), χωρίς να επιλυθεί η εξίσωση.
Η δική μου λύση (η άσκηση είναι κατασκευής μου) είναι παραλλαγή αυτής του Αλέξανδρου:

Από τους τύπους Vieta έχουμε \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} = r_1+r_2+r_3- ([r_1]+[r_2]+[r_3])=-1- ([r_1]+[r_2]+[r_3]). Τώρα, αφού για το δοθέν πολυώνυμο εύκολα υπολογίζουμε ότι

p(-3)p(-2)<0, σημαίνει ότι έχει ρίζα r_1\in (-3,-2). Άρα [r_1]=-3. Όμοια για τις άλλες δύο ρίζες έχουμε

p(0)p(1)<0 και p(1)p(2)<0 οπότε r_2\in (0,1), \, r_3\in (1,2) που σημαίνει [r_2]=-0, \, [r_3]=1. Τελικά

\{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} = -1- (-3+0+1)=1


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης