Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3907
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#101

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Ιαν 12, 2018 8:19 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Ιαν 12, 2018 4:09 pm

ΑΣΚΗΣΗ 27

Δείξτε ότι αν ο αριθμός 1+2^n+4^n είναι πρώτος, τότε n=3^k για κάποιο φυσικό k.
Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα:

Αν ο n δε διαιρείται με το 3 τότε το πολυώνυμο x^{2n}+x^n+1 διαιρείται από το x^2+x+1

Απόδειξη

Αν n=3k+1 τότε 2n=2(3k+1)=3m+2 άρα

\begin{aligned}x^{2n}+x^n+1 &=x^{3m+2}+x^{3k+1}+1\equiv \left(x^3\right)^m\cdot x^2 + \left(x^3\right)^k \cdot x+1 \\ &\equiv 1\cdot x^2+1\cdot x+1 \equiv 0\pmod{(x^2+x+1)}\end{aligned}
διότι x^3\equiv 1\pmod{(x^2+x+1)}

Όμοια αν n=3k+2 τότε 2n=3m+1 και παίρνουμε και πάλι ότι x^{2n}+x^n+1 \equiv 0\pmod{(x^2+x+1)} \blacksquare

Επιστρέφουμε στην άσκηση:

Από το παραπάνω λήμμα αν ο n δεν διαιρείται από το 3 τότε για x=2 παίρνουμε ότι ο A=4^n+2^n+1 διαιρείται από το 2^2+2+1=7 άρα δεν είναι πρώτος.

Άρα για να είναι ο A πρώτος πρέπει ο n να διαιρείται από το 3. Αν n=3^k\cdot l, \ l>1 όπου k η μεγαλύτερη δύναμη του 3 που υπάρχει στο k (δηλαδή 3\nmid l) τότε με όμοιο επιχείρημα επειδή ο αριθμός \left(x^{3^k}\right)^{2l}+\left(x^{3^k}\right)^l+1 είναι πρώτος πρέπει ο l να διαιρείται από το 3 (από το παραπάνω Λήμμα), άτοπο. Άρα l=1 και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης

Λέξεις Κλειδιά:
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#102

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Παρ Ιαν 12, 2018 8:36 pm

Ωραία και κλασική άσκηση που φαίνεται η δύναμη των πολυωνύμων. Υπάρχει και στον Engel και στο βιβλίο Μαθ. Διαγωνισμοί ΙΙ.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11215
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#103

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 31, 2018 9:07 pm

ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν r_1,\,r_2,\,r_3 οι ρίζες της x^3+x^2-4x+1=0, να βρεθεί η τιμή της παράστασης \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} (άθροισμα κλασματικών μερών), χωρίς να επιλυθεί η εξίσωση.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3907
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#104

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Κυρ Απρ 01, 2018 11:32 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Μαρ 31, 2018 9:07 pm
ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν r_1,\,r_2,\,r_3 οι ρίζες της x^3+x^2-4x+1=0, να βρεθεί η τιμή της παράστασης \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} (άθροισμα κλασματικών μερών), χωρίς να επιλυθεί η εξίσωση.
Από τους τύπους Vieta παίρνουμε r_1+r_2+r_3=-1 δηλαδή [r_1]+[r_2]+[r_3]+\{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\}=-1 και αφού ισχύει 0\leq \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} <3 άρα παίρνουμε -4<[r_1]+[r_2]+[r_3]\leq -1.

\blacksquare Αν [r_1]+[r_2]+[r_3] =-1 τότε \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\}=0 κι έτσι \{r_1\}=\{r_2\}=\{r_3\}=0, άτοπο αφού η αρχική εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες.

\blacksquare Αν [r_1]+[r_2]+[r_3]=-3 τότε \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\}=2. Αν ορίσουμε f(x)=x^3+x^2-4x+1, τότε αφού f(-3)\cdot f\left(-\dfrac{5}{2}\right)<0, f(0)\cdot f\left(\dfrac{1}{2}\right)<0 και f(1)\cdot f\left(\dfrac{3}{2}\right)<0 άρα για τις ρίζες ισχύει 0 < \{r_i\} <\dfrac{1}{2}, \ i=1,2,3 κι έτσι 0 < \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} <\dfrac{3}{2} < 2, άτοπο.

Άρα τελικά πρέπει [r_1]+[r_2]+[r_3]=-2 και τελικά \boxed{ \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\}=1}.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11215
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#105

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Απρ 02, 2018 8:09 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Μαρ 31, 2018 9:07 pm
ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν r_1,\,r_2,\,r_3 οι ρίζες της x^3+x^2-4x+1=0, να βρεθεί η τιμή της παράστασης \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} (άθροισμα κλασματικών μερών), χωρίς να επιλυθεί η εξίσωση.
Η δική μου λύση (η άσκηση είναι κατασκευής μου) είναι παραλλαγή αυτής του Αλέξανδρου:

Από τους τύπους Vieta έχουμε \{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} = r_1+r_2+r_3- ([r_1]+[r_2]+[r_3])=-1- ([r_1]+[r_2]+[r_3]). Τώρα, αφού για το δοθέν πολυώνυμο εύκολα υπολογίζουμε ότι

p(-3)p(-2)<0, σημαίνει ότι έχει ρίζα r_1\in (-3,-2). Άρα [r_1]=-3. Όμοια για τις άλλες δύο ρίζες έχουμε

p(0)p(1)<0 και p(1)p(2)<0 οπότε r_2\in (0,1), \, r_3\in (1,2) που σημαίνει [r_2]=-0, \, [r_3]=1. Τελικά

\{r_1\}+\{r_2\}+\{r_3\} = -1- (-3+0+1)=1


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#106

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Σεπ 20, 2018 9:11 am

Άσκηση 29:

Αν \displaystyle{a,b,c,d} είναι οι ρίζες του πολυωνύμου \displaystyle{P(x)=x^4+px^3+qx^2+rx+1,} να εκφράσετε την παράσταση

\displaystyle{K=(a^4+1)(b^4+1)(c^4+1)(d^4+1)} συναρτήσει των \displaystyle{p,q,r.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3907
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#107

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Πέμ Σεπ 20, 2018 10:41 am

matha έγραψε:
Πέμ Σεπ 20, 2018 9:11 am
Άσκηση 29:

Αν \displaystyle{a,b,c,d} είναι οι ρίζες του πολυωνύμου \displaystyle{P(x)=x^4+px^3+qx^2+rx+1,} να εκφράσετε την παράσταση

\displaystyle{K=(a^4+1)(b^4+1)(c^4+1)(d^4+1)} συναρτήσει των \displaystyle{p,q,r.}

Είναι P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) \ \ (1)

Επειδή x^4+1=(x ^2+i)(x^2-i)=(x+z_1)(x-z_1)(x+z_2)(x-z_2) με z_1^2=i και z_2^2=-i. (Προφανώς οι z_1,z_2 είναι οι πρωταρχικές τέταρτες ρίζες του -1 και η μεταξύ τους σχέση είναι ότι z_2=\overline{z_1})

Άρα K=\prod (a+z_1)(a-z_1)(a+z_2)(a-z_2)=P(z_1)P(-z_1)P(z_2)P(-z_2) όπου το γινόμενο είναι πάνω στα a,b,c,d.

Πράγματι, αν στην (1) βάλουμε όπου x το -z_1 παίρνουμε P(-z_1)=(a+z_1)(b+z_1)(c+z_1)(d+z_1) κ.ο.κ.

Όμως P(z_1)=z_1^4+pz_1^3+qz_1^2+rz_1+1=-1+pz_1i+qi+rz_1+1=qi+z_1(r+pi)

Όμοια, P(-z_1)=qi-z_1(r+pi),

P(z_2)=-qi+z_2(r-pi)\right]=\overline{\left[qi+z_1(r+pi)\right]}=\overline{P(z_1)} και τέλος

P(-z_2)=\overline{P(-z_1)}

Όμως P(z_1)P(-z_1)=(qi)^2-i(r+pi)^2=(2rp-q^2)+(p^2-r^2)i και

P(z_2)P(-z_2)=\overline{P(z_1)P(-z_1)}=(2rp-q^2)-(p^2-r^2)i

κι έτσι τελικά K=(2rp-q^2)^2+(p^2-r^2)^2


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11215
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#108

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 11, 2018 8:09 am

Άσκηση 30:

Για ποιες τιμές του a το πολυώνυμο x^2-x+a διαιρεί το x^{13} +x+90 ;

(από Trigg, Mathematical Quickies)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11215
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#109

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 11, 2018 8:20 am

Άσκηση 31:

Δείξτε ότι για κάθε φυσικό n ο αριθμός n^9-6n^7 +9n^5-4n^3 είναι πολλαπλάσιο του 8640.

(από Trigg, Mathematical Quickies)


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4221
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#110

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:25 pm

Καλημέρα Μιχάλη.

Έχουμε: \displaystyle{A=n^9 -6n^7 +9n^5 -4n^3 = n^3 (n^6 -6n^4 +9n^2 -4)=}

\displaystyle{n^3 (n^6 -5n^4 -n^4 +10n^2 -n^2 -5+1)=n^3 (n^6 -n^4 -n^2 +1 -5n^4 +10n^2 -5)=}

\displaystyle{n^3 [n^4 (n^2 -1)-(n^2 -1)-5(n^4 -2n^2 +1)]=n^3 [(n^2 -1)(n^4 -1)-5(n^2 -1)^2 ]=}

\displaystyle{n^3 [(n^2 -1)^2 (n^2 +1)-5(n^2 -1)^2 ]= n^3 (n^2 -1)^2 (n^2 -4)=n^3 (n-1)^2 (n+1)^2 (n-2)(n+2)}

Επειδή \displaystyle{8640 = 2^6 .3^3.5}, αρκεί να δείξουμε ότι ο αριθμός \displaystyle{A} διαιρείται με το \displaystyle{2^6 }, το \displaystyle{3^3} και το \displaystyle{5}.

Αφού \displaystyle{A=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2).n^2 (n-1)(n+1)}, άρα θα διαιρείται με το 5 , αφού περιέχει γινόμενο πέντε διαδοχικών ακεραίων.

Επίσης αφού \displaystyle{A=(n-2)(n-1)n . (n-1)n(n+1).n(n+1)(n+2)}, άρα θα διαιρείται με το \displaystyle{3^3}

Μένει τέλος να δείξουμε ότι ο \displaystyle{A} διαιρείται με το \displaystyle{2^6}

Πράγματι, έστω \displaystyle{n=2k , k/in N}. Τότε \displaystyle{A=2^3 k^3 (2k-1)^2 (2k+1)^2 (2k-2)(2k+2)=2^5 k^3 (2k-1)^2 (2k+1)^2 (k-1)(k+1)=}

\displaystyle{2^5 .k(k+1).k^2 (2k_1)^2 (2k+1)^2 (k-1)} και άρα είναι πολλαπλάσιο του \displaystyle{2^6}, αφού ο \displaystyle{k(k+1)} είναι πολλαπλάσιο του 2

Έστω τώρα \displaystyle{n=2k+1} . Τότε \displaystyle{A=(2k+1)^3 (2k)^2 (2k+2)^2 (2k-1)(2k+3)=2^4 (2k+1)^3 k^2 (k+1)^2 (2k-1)(2k+3)=}

\displaystyle{2^4 .k(k+1).k(k+1).(2k+1)^3 (2k-1)(2k+3)} και άρα είναι πολλαπλάσιο του \displaystyle{2^6}, αφού οι αριθμοί \displaystyle{k(k+1) , k(k+1)} είναι

πολλαπλάσια του 2.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#111

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Νοέμ 20, 2018 10:16 pm

Άσκηση 32:

Αν \displaystyle{a,b,c} είναι οι ρίζες του πολυωνύμου \displaystyle{P(x)=x^3+2x-1,} να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων

\displaystyle{K=a^3b+b^3c+c^3a.}

\displaystyle{L=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}.}


Μάγκος Θάνος
min##
Δημοσιεύσεις: 205
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#112

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Νοέμ 21, 2018 5:49 pm

matha έγραψε:
Τρί Νοέμ 20, 2018 10:16 pm
Άσκηση 32:

Αν \displaystyle{a,b,c} είναι οι ρίζες του πολυωνύμου \displaystyle{P(x)=x^3+2x-1,} να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων

\displaystyle{K=a^3b+b^3c+c^3a.}

\displaystyle{L=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}.}
Από Vieta,a+b+c=0,ab+bc+ca=2,abc=1.
Η πρώτη,επειδή πχ.a^3=1-2a,γίνεται K=b(1-2a)+c(1-2b)+a(1-2c)=a+b+c-2(ab+bc+ca)=-4.
Για τη δεύτερη,είναι 0=(a+b+c)(ab+bc+ca)=\sum_{cyc}a^2c+\sum_{cyc}a^2b+3abc,οπότε αν \sum_{cyc}a^2b=L',θα είναι \blacklozenge L+L'=-3.
Παίρνω τώρα το
L^2=\sum_{cyc}a^4c^2+2\sum_{cyc}c^3ab=\sum_{cyc}(1-2a)ac^2+2\sum_{cyc}c^2a=3\sum_{cyc}c^2a-2\sum_{cyc}a^2c^2,δηλαδή L^2=3L'-2(ab+bc+ca)^2=3(-3-L)-8
,οπότε και λύνω τη δευτεροβάθμια L^2+3L+17=0,από όπου προκύπτει L=\frac{-3\pm i\cdot \sqrt{59}}{2},από όπου γίνονται δεκτές και οι δύο λύσεις.(Αφού η L είναι κυκλική και όχι συμμετρική έχει σημασία η διάταξη των ριζών.Επιπλέον,αν πάρω τη μια από τις 2 για L,το L' εξαιτίας της \blacklozenge θα πάρει την άλλη κλπ.)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11215
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#113

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 21, 2018 7:52 pm

Ξεχάστηκε η Άσκηση 30


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11215
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#114

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:36 am

matha έγραψε:
Τρί Νοέμ 20, 2018 10:16 pm
Άσκηση 32:

Αν \displaystyle{a,b,c} είναι οι ρίζες του πολυωνύμου \displaystyle{P(x)=x^3+2x-1,} να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων

\displaystyle{K=a^3b+b^3c+c^3a.}

\displaystyle{L=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}.}
.
Η αρχική μου λύση ήταν παραλλαγή αυτής του min# παραπάνω, γι' αυτό έβαλα στοίχημα με τον εαυτό μου να βρω διαφορετική. Καταγράφω το αποτέλεσμα (δύο τεχνικές). Είμαι βέβαιος ότι οι ίδιες δύο τεχνικές προσαρμόζονται σε ευρύ φάσμα ανάλογων περιπτώσεων, ιδίως η λύση της β) που είναι ασυμμετρική και η απάντηση εξαρτάται από την σειρά των ριζών (περιέργως δεν συμβαίνει το ίδιο για την α)):

α) Η εξίσωση έχει μία πραγματική και δύο μιγαδικές ρίζες. Άρα οι ρίζες είναι της μορφής p\pm iq και (επειδή \sum a=0) η τρίτη είναι -2p.
Από εδώ βγαίνουν διάφορες ταυτότητες. Για παράδειγμα το γινόμενο των ριζών (το οποίο όμως δεν θα χρησιμοποιήσω εδώ αλλά το καταγράφω) δίνει -2p(p^2+q^2)=1. Όμοια από το \sum ab=2 έπεται -3p^2+q^2=2.

Tώρα η δοθείσα παράσταση μετά από απλές πράξεις δίνει -9p^4-q^4+6p^2q^2 . Προσπαθούμε τώρα να γράψουμε την παράσταση που βρήκαμε συναρτήσει των παραπάνω διώχνοντας τα p,\,q. Εδώ τυχαίνει και είναι εύκολο, καθώς ισούται -(-3p^2+q^2)^2= -2^2=-4.

β) Άλλη τεχνική: Γράφουμε L=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} και M= \dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b} . Τώρα οι παραστάσεις L+M, \, LM είναι συμμετρικές (εδώ είναι το κλειδί) και είναι εύκολο να τις βρούμε.

Είναι \displaystyle{L+M= \frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}+\frac{c+b}{a}= \frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}+\frac{-a}{a}= -3} και

\displaystyle{LM=...= \left ( \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}\right ) + \left ( \frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\right )+ 3=  \frac{a^3+b^3+c^3}{abc} + abc \left ( \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right )+ 3}

Εύκολα βρίσκουμε (με διάφορους τρόπους) ότι \displaystyle{ a^3+b^3+c^3=3} και \displaystyle{ \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}= 11} (εδώ διευκολύνει να πούμε ότι τα 1/a, \, 1/b, \, 1/c είναι ρίζες της y^3-2y^2-1=0 και λοιπά).

Τελικά LM= 17, που μαζί με την L+M=-3 δίνει L= \dfrac {-3\pm \sqrt{59} i}{2}.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11215
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#115

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 12, 2018 10:22 pm

Άσκηση 33:

Αν \displaystyle{a,\,b,\,c,\,d,\,e,\, f,\, g,\, h} είναι αναδιάταξη των 1,\,2,\,3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7,\, 8, ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός βαθμός που μπορεί να έχει το πολυώνυμο (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-(x-e)(x-f)(x-g)(x-h) ;

Σχόλιο: Η άσκηση σε αλλιώτικη μορφή είναι ουσιαστικά λυμένη (εκτός από μερικές λεπτομέρειες) σε πρόσφατο ποστ. Την τοποθετώ εδώ για πληρότητα του παρόντος θρεντ "Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων". Αναμένω λύση, ιδίως από τους μαθητές μας.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1786
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#116

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Δεκ 14, 2018 11:27 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Νοέμ 11, 2018 8:09 am
Άσκηση 30:

Για ποιες τιμές του a το πολυώνυμο x^2-x+a διαιρεί το x^{13} +x+90 ;

(από Trigg, Mathematical Quickies)
Μέχρι να μας αποκαλύψει ο Μιχάλης το "τσίμπημα του σκορπιού" (όπως έλεγε ο Φίσερ), σκέφτηκα να λειτουργήσω σαν μαθητής Β' Λυκείου και να κάνω την διαίρεση!!! Θα διαιρέσω το x^{13} με το x^2-x+a και θα ζητήσω το υπόλοιπο να είναι το -x-90.

Οι συντελεστές του πηλίκου με σειρά εμφάνισης είναι 1, 1, 1-a, 1-2a, ... Ακολουθούν το "μοτίβο":

x_1=1, x_2=1, x_{n+2}=x_{n+1}-ax_{n}

To υπόλοιπο θα είναι το (x_{12}-ax_{11})x-ax_{12}. Για να ισούται με -x-90 υπολογισμοί (ρουτίνας :winner_first_h4h: ) δίνουν:

-6a^6+35a^5-56a^4+36a^3-10a^2+a=90

a^6-21a^5+70a^4-84a^3+45a^2-11a+1=-1

Αυτές έχουν κοινή λύση το a=2 που είναι εύκολο να το αντιληφθούμε. Αν είναι μοναδική θα το ψάξω στο επόμενο ... τετράμηνο της Β' !!


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10638
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#117

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 15, 2018 11:13 am

Άσκηση 34

Αν : P(x)=x^{10}+2x^9-2x^8-2x^7+x^6+3x^2+6x+1 ,

βρείτε το : P(\tan\dfrac{\pi}{8}) , ( εννοείται χωρίς χρήση λογισμικού ... )


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11215
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#118

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 15, 2018 1:35 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 15, 2018 11:13 am
Άσκηση 34

Αν : P(x)=x^{10}+2x^9-2x^8-2x^7+x^6+3x^2+6x+1 ,

βρείτε το : P(\tan\dfrac{\pi}{8}) , ( εννοείται χωρίς χρήση λογισμικού ... )
Θέτουμε x=\tan\dfrac{\pi}{8}. Επειδή \displaystyle{1=\tan \dfrac {\pi}{4} = \frac {2x}{1-x^2} } συμπεραίνουμε ότι το x=\tan\dfrac{\pi}{8} ικανοποιεί x^2+2x-1=0.

Έχουμε τώρα

\displaystyle{x^{10}+2x^9-2x^8-2x^7+x^6+3x^2+6x+1  = x^8( x^2+2x-1) -x^6(x^2+2x-1)+3(x^2+2x-1) +4=

\displaystyle{=0+0+0+4=4}}


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#119

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Δεκ 30, 2018 9:56 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Νοέμ 11, 2018 8:09 am
Άσκηση 30:
Για ποιες τιμές του a το πολυώνυμο x^2-x+a διαιρεί το x^{13} +x+90 ;
Θεωρώ ότι μιλάμε για ακέραιο \displaystyle{a}.

Θέλουμε

\displaystyle{x^{13}+x+90=(x^2-x+a)f(x),} όπου \displaystyle{f(x)\in \mathbb{Z}[x].}

Θέτουμε στη σχέση αυτή \displaystyle{x=0,x=1,x=-1,} οπότε προκύπτει

\displaystyle{af(0)=90,~~af(1)=92,~~(a+2)f(-1)=88.}

Επομένως είναι \displaystyle{a|90,~~a|92,~~(a+2)|88.}

Από τις πρώτες δύο έχουμε και \displaystyle{a|\gcd (90,92)\implies a|2\implies a=\pm 1, \pm 2.}

Οι τιμές \displaystyle{-1,-2} απορρίπτονται γιατί τότε το \displaystyle{x^{13}+x+90} θα είχε δύο τουλάχιστον ρίζες (τις ρίζες του \displaystyle{x^2-x-1,x^2-x-2} αντίστοιχα).
Όμως, το \displaystyle{x^{13}+x+90} έχει φανερά μοναδική πραγματική ρίζα.

Τέλος, απορρίπτεται και η τιμή \displaystyle{a=1,} γιατί αντιβαίνει στην \displaystyle{(a+2)|88.}

Απομένει η τιμή \displaystyle{a=2.} Είναι εύκολο να δούμε ότι πράγματι \displaystyle{(x^2-x+2)|(x^{13}+x+90).}


Μάγκος Θάνος
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#120

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Ιαν 07, 2019 2:06 am

ΑΣΚΗΣΗ 35

Έστω πολυώνυμο P(x)=x^3-ax+b,(a,b>0) το οποίο έχει τρεις πραγματικές ρίζες. Να αποδείξετε ότι

1) δύο εκ των ριζών είναι θετικές και η τρίτη αρνητική και

2) η μικρότερη εκ των δύο θετικών ριζών είναι ανάμεσα στους αριθμούς \displaystyle\frac{b}{a},\frac{3b}{2a}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης