Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#121

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Μαρ 04, 2019 5:44 pm

Άσκηση 36


Για κάθε a, για το οποίο η εξίσωση \displaystyle x^3-x^2-4x-a=0 έχει τρεις διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες, συμβολίζουμε με \displaystyle  x_{1}=x_{1} \left ( a \right ), \quad x_{2}=x_{2}\left ( a \right ),  \quad  x_{3}=x_{3}\left ( a \right ) αυτές τις ρίζες διατεταγμένες κατά φθίνουσα σειρά (x_{1} > x_{2} > x_{3}). Προσδιορίστε, για ποιό από αυτά τα a η έκφραση \displaystyle x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{3}^{2}x_{1} λαμβάνει την μέγιστη δυνατή τιμή της.


https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 56#p307656



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#122

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 19, 2019 9:35 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Δεκ 12, 2018 10:22 pm
Άσκηση 33:

Αν \displaystyle{a,\,b,\,c,\,d,\,e,\, f,\, g,\, h} είναι αναδιάταξη των 1,\,2,\,3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7,\, 8, ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός βαθμός που μπορεί να έχει το πολυώνυμο (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-(x-e)(x-f)(x-g)(x-h) ;

Σχόλιο: Η άσκηση σε αλλιώτικη μορφή είναι ουσιαστικά λυμένη (εκτός από μερικές λεπτομέρειες) σε πρόσφατο ποστ. Την τοποθετώ εδώ για πληρότητα του παρόντος θρεντ "Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων". Αναμένω λύση, ιδίως από τους μαθητές μας.
Επαναφορά.

Την είχα ξεχάσει και εγώ αλλά την είδα τυχαία όταν πριν από λίγο ήθελα να αναρτήσω μία νέα άσκηση στο θρεντ.

Η νέα άσκηση μπορεί να περιμένει αλλά ας δούμε πρώτα λύσεις των ξεχασμένων. Ακολουθεί λύση της ξεχασμένης 35.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#123

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 19, 2019 10:06 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Ιαν 07, 2019 2:06 am
ΑΣΚΗΣΗ 35

Έστω πολυώνυμο P(x)=x^3-ax+b,(a,b>0) το οποίο έχει τρεις πραγματικές ρίζες. Να αποδείξετε ότι

1) δύο εκ των ριζών είναι θετικές και η τρίτη αρνητική και

2) η μικρότερη εκ των δύο θετικών ριζών είναι ανάμεσα στους αριθμούς \displaystyle\frac{b}{a},\frac{3b}{2a}.
Πρώτα απ' όλα το 0 δεν είναι ρίζα αφού b\ne 0.

Αφού το γινόμενο των ριζών είναι -b<0, σημαίνει ότι είτε έχουμε τρεις (γνήσια) αρνητικές ρίζες ή δύο θετικές και μία αρνητική. Αφού το άθροισμα των ριζών είναι 0, η πρώτη εκδοχή αποκλείεται. Αυτό απαντά στο ερώτημα 1). Επίσης,

έστω p\le q οι δύο θετικές ρίζες, οπότε η αρνητική είναι η -p-q. Άρα από Vieta είναι  -a=pq -p(p+q)-q(p+q)  και -b=-pq(p+q) οπότε

a=p^2+pq+q^2 και b=pq(p+q).

Είναι τώρα  \dfrac {b}{a} = \dfrac{pq(p+q)}{p^2+pq+q^2}< \dfrac{pq(p+q)}{pq+q^2}=p, δηλαδή το ένα ζητούμενο. Και

 \dfrac {3b}{2a} = \dfrac{3pq(p+q)}{2p^2+2pq+2q^2}=  \dfrac{3pq(p+q)}{(p^2+p^2)+2pq+2q^2 } > \dfrac{3pq(p+q)}{(pq+q^2)+2pq+2q^2 }=\dfrac{3pq(p+q)}{3pq+3q^2 }=p, όπως θέλαμε.

Σχόλιο: Άλλη λύση του \displaystyle\dfrac{b}{a}< p: Η αρχική δίνει για οποιαδήποτε από τις θετικές ρίζες ax-b=x^3>0 , άρα x> \dfrac{b}{a}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης