Τέλειο τετράγωνο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10316
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Τέλειο τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Απρ 16, 2018 2:05 pm

Για ποια n\in \mathbb N ο αριθμός \displaystyle{2^n+2^{11}+2^8} είναι τέλειο τετράγωνο;

(Νομίζω κάνει για Επίπεδο Ευκλείδη).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1355
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Τέλειο τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Πέμ Απρ 19, 2018 11:21 pm

Επαναφέρω το θέμα που πρότεινε ο Μιχάλης.
Έχω την εντύπωση ότι οι μαθητές μας ξεκίνησαν τα διαβάσματα του σχολείου και γι΄ αυτό δεν έδωσαν σημασία στο θέμα.
Δεν παίρνει και πολύ χρόνο να βρείτε την απάντηση.
Επίσης, το θέμα είναι ελκυστικό.
Νύξη: Δεν υπάρχει πάντα αίσιο αποτέλεσμα. :roll:


silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1181
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Τέλειο τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Παρ Απρ 20, 2018 12:45 am

Επίσης έχουμε δει παρόμοια θέματα και εδώ, όπου υπάρχει και ένα γενικό πρόβλημα.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 09&t=17945


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10316
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τέλειο τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 20, 2018 8:28 am

silouan έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 12:45 am
Επίσης έχουμε δει παρόμοια θέματα και εδώ, όπου υπάρχει και ένα γενικό πρόβλημα.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 09&t=17945
Ευχαριστούμε Σιλουανέ.

Η λύση που είχα κατά νου είναι η εξής, η οποία πηγάζει από το γεγονός ότι 2^{11}+2^8=2^8(2^3+1)= (2^4\cdot 3)^2=48^2.

Έτσι η δοθείσα γίνεται 2^n=k^2-48^2=(k+28)(k-48) από όπου k+48= 2^a, \, k-48=2^b με a+b=n. Αφαιρώντας είναι

\displaystyle{2^b(2^{a-b}-1)=96=2^5(2^2-1)}, οπότε b=5 και a-b= 2. Άρα n=12.

.

Edit: Διόρθωση αριθμητικού σφάλματος
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Παρ Απρ 20, 2018 8:54 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1305
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τέλειο τετράγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Απρ 20, 2018 8:47 am

Την έχουμε ξαναδεί εδώ.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10316
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τέλειο τετράγωνο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 20, 2018 9:07 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 8:47 am
Την έχουμε ξαναδεί εδώ.
:oops:

Άστα Ορέστη. Το μυαλό μου τα έχει χαμένα από τα τρεχάματα (*), που δεν το πήρα χαμπάρι.

(*) Δείγμα από τα τρέχοντα αυτό τον καιρό: Έκανα ομιλία προχθές σε παιδιά Α Λυκείου σε ένα σχολείο στο Ηράκλειο,
χθες διαγώνισμα με 550 φοιτητές, μεθαύριο Κυριακή έχω ολοήμερο σεμινάριο σε μαθητές σε ένα σχολείο στην Θεσσαλονίκη,
την επόμενη Τρίτη ομιλία σε γονείς και παιδιά σε ένα σχολείο στο Ηράκλειο, μετά Παρασκευή-Σάββατο ομιλία στη Μαθηματική εβδομάδα
στην Θεσσαλονίκη, την μεθεπόμενη Κυριακή και Δευτέρα δημόσιες ομιλίες σε παιδιά στον Βόλο, μόλις γυρίσω πίσω άλλη ομιλία
σε παιδιά στο Ρέθυμνο και λοιπά και λοιπά. Βέβαια τα μαθήματα και οι μεταπτυχιακοί μου φοιτητές δεν σταματούν, και ο φετινός
διαγωνισμός Καγκουρό ακόμη έχει δουλειά...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης