Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 10, 2018 6:29 pm
από socrates
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} τέτοια ώστε \displaystyle f(f(x)+y)=f(x)+3x+yf(y) για κάθε x,y\in\mathbb{R}.

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 10, 2018 7:13 pm
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Για y=0, έχουμε πως f(f(x))=f(x)+3x (1).

Έστω f(x_1)=f(x_2). Τότε:

f(f(x_1))=f(f(x_2))\Leftrightarrow f(f(x_1))-f(x_1)=f(f(x_2))-f(x_2)\Leftrightarrow 3x_1=3x_2\Leftrightarrow x_1=x_2. Άρα η f είναι 1-1.

Θέτουμε στην (1) x=0, επομένως f(f(0))=f(0)\Leftrightarrow f(0)=0.

Για x=0 και y=2 στην αρχική παίρνουμε ότι f(2)=2f(2)\Leftrightarrow f(2)=0=f(0)\Leftrightarrow 2=0, άτοπο.

Επομένως δεν υπάρχει f που να ικανοποιεί την αρχική.

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 10, 2018 7:19 pm
από socrates
:coolspeak: