Συναρτησιακή
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Συναρτησιακή
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει
για κάθε
για κάθε
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Συναρτησιακή
Θέτουμε και παίρνουμε ότι:
.
Από αυτό παίρνουμε ότι .
Διακρίνουμε περιπτώσεις:
1) :
Θέτοντας παίρνουμε ότι , οπότε .
Θέτουμε τώρα στην αρχική και παίρνουμε ότι .
Ας υποθέσουμε ότι το τείνει στο άπειρο. Λόγω του ότι και το γεγονός ότι το θα τείνει στο μείον άπειρο, έχουμε ότι το θα τείνει στο μείον άπειρο, άρα και το θα τείνει στο μείον άπειρο. Αφού συμπεραίνουμε ότι όταν το τείνει στο άπειρο το θα τείνει στο μείον άπειρο.
Θέτουμε .
Έχουμε ότι .
Όταν το τείνει στο άπειρο το δεξί μέλος θα τείνει στο μείον άπειρο. Όμως λόγω του ότι τα και θα τείνουν στο μείον άπειρο έχουμε ότι το γινόμενό τους θα τείνει στο άπειρο, άρα η ανισοτική σχέση δεν θα ισχύει, άτοπο.
2) .
Θέτουμε και παίρνουμε ότι , οπότε για .
Με άλλα λόγια και .
Θέτουμε τώρα στην αρχική . Οπότε:
. Όμως αφού και , έχουμε ότι .
Θέτουμε τώρα και παίρνουμε ότι . Από αυτό παίρνουμε ότι για .
Για έχουμε ότι .
Η σχέση γίνεται , αφού , άρα .
Αν όμως για κάποιο , τότε . Επομένως θα πρέπει και αφού το θα πρέπει (αφού ).
Άρα για κάθε πραγματικό αριθμό .
.
Από αυτό παίρνουμε ότι .
Διακρίνουμε περιπτώσεις:
1) :
Θέτοντας παίρνουμε ότι , οπότε .
Θέτουμε τώρα στην αρχική και παίρνουμε ότι .
Ας υποθέσουμε ότι το τείνει στο άπειρο. Λόγω του ότι και το γεγονός ότι το θα τείνει στο μείον άπειρο, έχουμε ότι το θα τείνει στο μείον άπειρο, άρα και το θα τείνει στο μείον άπειρο. Αφού συμπεραίνουμε ότι όταν το τείνει στο άπειρο το θα τείνει στο μείον άπειρο.
Θέτουμε .
Έχουμε ότι .
Όταν το τείνει στο άπειρο το δεξί μέλος θα τείνει στο μείον άπειρο. Όμως λόγω του ότι τα και θα τείνουν στο μείον άπειρο έχουμε ότι το γινόμενό τους θα τείνει στο άπειρο, άρα η ανισοτική σχέση δεν θα ισχύει, άτοπο.
2) .
Θέτουμε και παίρνουμε ότι , οπότε για .
Με άλλα λόγια και .
Θέτουμε τώρα στην αρχική . Οπότε:
. Όμως αφού και , έχουμε ότι .
Θέτουμε τώρα και παίρνουμε ότι . Από αυτό παίρνουμε ότι για .
Για έχουμε ότι .
Η σχέση γίνεται , αφού , άρα .
Αν όμως για κάποιο , τότε . Επομένως θα πρέπει και αφού το θα πρέπει (αφού ).
Άρα για κάθε πραγματικό αριθμό .
Houston, we have a problem!
Re: Συναρτησιακή
Καλό απόγευμα , μια προσέγγιση:
Με και στην διαδοχικά προκύπτουν:
Με η αρχική δίνει:
Συνδυάζοντας τα δύο τελευταία συμπεράσματα προκύπτουν:
Με και η αρχική γράφεται: ή
Με έχουμε
Όμοια : άρα τελικά προκύπτει:
Η αρχική τώρα γράφεται: ενώ η γράφεται:
Με και στην αρχική προκύπτει:
Έστω τώρα ότι υπάρχει με τότε θα έχουμε:
το οποίο είναι άτοπο.Επομένως
Συνεπώς από τις προκύπτει ότι
Για προκύπτει από την αρχική για κάθε :
Με και στην διαδοχικά προκύπτουν:
Με η αρχική δίνει:
Συνδυάζοντας τα δύο τελευταία συμπεράσματα προκύπτουν:
Με και η αρχική γράφεται: ή
Με έχουμε
Όμοια : άρα τελικά προκύπτει:
Η αρχική τώρα γράφεται: ενώ η γράφεται:
Με και στην αρχική προκύπτει:
Έστω τώρα ότι υπάρχει με τότε θα έχουμε:
το οποίο είναι άτοπο.Επομένως
Συνεπώς από τις προκύπτει ότι
ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή
Η άσκηση είναι μια δική μου κατασκευή.
Μπορούμε να λύσουμε και το "ανάποδο" πρόβλημα;
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει
για κάθε
Μπορούμε να λύσουμε και το "ανάποδο" πρόβλημα;
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει
για κάθε
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες