Ελάχιστη τιμή

Να βρείτε, χωρίς τη χρήση των παραγώγων, την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης $\displaystyle f(x) = \sqrt {1 + \frac{4}{x}} - \sqrt {1 - x} ,$ $\displaystyle x \in (0,1]$

Ορέστης Λιγνός

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 11, 2018 6:16 pm
Να βρείτε, χωρίς τη χρήση των παραγώγων, την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης $\displaystyle f(x) = \sqrt {1 + \frac{4}{x}} - \sqrt {1 - x} ,$ $\displaystyle x \in (0,1]$

Γεια σου Γιώργο!

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι f(x)>0

, για κάθε $x \in (0,1]$ . Πράγματι, αφού x>0

είναι $\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}>1>\sqrt{1-x} \Rightarrow f(x)=\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}-\sqrt{1-x}>0$ .

Είναι $f^2(x)=2+\dfrac{4}{x}-x-2\sqrt{\dfrac{4}{x}-x-3}$ και αν $\dfrac{4}{x}-x-3=t^2$ , $t \geqslant 0$ είναι $f^2(x)=t^2+5-2t=(t-1)^2+4 \geqslant 4$ , άρα $f^2(x) \geqslant 4 \Rightarrow f(x) \geqslant 2$ , αφού f(x)>0

.

Πρέπει όμως να ελέγξουμε αν επιτυγχάνεται η ισότητα. Είναι $t=1 \Rightarrow \dfrac{4}{x}-x=4 \Rightarrow x^2+4x-4=0 \Rightarrow x=2\sqrt{2}-2$ , αφού x>0

.

Τελικά, $\rm min$ f(x)=2

για $x=2\sqrt{2}-2$ .

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 11, 2018 6:32 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 11, 2018 6:16 pm
Να βρείτε, χωρίς τη χρήση των παραγώγων, την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης $\displaystyle f(x) = \sqrt {1 + \frac{4}{x}} - \sqrt {1 - x} ,$ $\displaystyle x \in (0,1]$
Γεια σου Γιώργο!

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι , για κάθε $x \in (0,1]$ . Πράγματι, αφού είναι $\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}>1>\sqrt{1-x} \Rightarrow f(x)=\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}-\sqrt{1-x}>0$ .

Είναι $f^2(x)=2+\dfrac{4}{x}-x-2\sqrt{\dfrac{4}{x}-x-3}$ και αν $\dfrac{4}{x}-x-3=t^2$ , $t \geqslant 0$ είναι $f^2(x)=t^2+5-2t=(t-1)^2+4 \geqslant 4$ , άρα $f^2(x) \geqslant 4 \Rightarrow f(x) \geqslant 2$ , αφού .

Πρέπει όμως να ελέγξουμε αν επιτυγχάνεται η ισότητα. Είναι $t=1 \Rightarrow \dfrac{4}{x}-x=4 \Rightarrow x^2+4x-4=0 \Rightarrow x=2\sqrt{2}-2$ , αφού .

Τελικά, $\rm min$ για $x=2\sqrt{2}-2$ .

Έτσι ακριβώς, Ορέστη!

Και λίγο διαφορετικά:

$\displaystyle{a=\sqrt{1+\frac{4}{x}}\implies x=\frac{4}{a^2-1}, a\geq \sqrt{5}}$ ,

$\displaystyle{b=\sqrt{1-x}\implies x=1-b^2, b\in {0,1).}$

Πλέον αναζητούμε το ελάχιστο της παράστασης $\displaystyle{K=a-b,}$

όταν

$\displaystyle{\frac{4}{a^2-1}=1-b^2\iff a^2+b^2-a^2b^2=5\iff (a-b)^2=4+(ab-1)^2}$ .

Από εδώ προκύπτει $\displaystyle{K\geq 2,}$ με την ισότητα όταν $\displaystyle{a-b=2,ab=1,}$ οπότε $\displaystyle{b=\sqrt{2}-1.}$

matha έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 11, 2018 10:43 pm
Και λίγο διαφορετικά:

$\displaystyle{a=\sqrt{1+\frac{4}{x}}\implies x=\frac{4}{a^2-1}, a\geq \sqrt{5}}$ ,

$\displaystyle{b=\sqrt{1-x}\implies x=1-b^2, b\in {0,1).}$

Πλέον αναζητούμε το ελάχιστο της παράστασης $\displaystyle{K=a-b,}$

όταν

$\displaystyle{\frac{4}{a^2-1}=1-b^2\iff a^2+b^2-a^2b^2=5\iff (a-b)^2=4+(ab-1)^2}$ .

Από εδώ προκύπτει $\displaystyle{K\geq 2,}$ με την ισότητα όταν $\displaystyle{a-b=2,ab=1,}$ οπότε $\displaystyle{b=\sqrt{2}-1.}$

Έξυπνη κίνηση

Ελάχιστη τιμή

Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση