Λιγότεροι φυσικοί για γινόμενο

Al.Koutsouridis

Για ποιό ελάχιστο φυσικό αριθμό

θα βρεθούν

διαφορετικοί φυσικοί $\displaystyle s_{1}, s_{2}, ..., s_{n}$ τέτοιοι, ώστε

$\displaystyle \left ( 1-\dfrac{1}{s_{1}} \right )\left ( 1-\dfrac{1}{s_{2}} \right ) ... \left ( 1-\dfrac{1}{s_{n}} \right )=\dfrac{7}{66}$ ;

Προσοχή! Σε αυτήν την ανάρτηση λύνω το πρόβλημα για όχι απαραίτητα διαφορετικούς φυσικούς. Για διαφορετικούς φυσικούς δείτε την επόμενη ανάρτηση.

Για n=5

γίνεται παίρνοντας s_1=s_2=s_3=2,s_4=8,s_5=33

.

Για $n \leqslant 4$ δεν γίνεται. Ας υποθέσουμε ότι

από τα

ισούνται με

. Τουλάχιστον ένα από τα s_i

πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του

αφού $7s_1\cdots s_n = 66(s_1-1) \cdots (s_n-1)$ . Όλα τα υπόλοιπα s_i

(το πολύ

) είναι μεγαλύτερα ή ίσα του

. Τότε όμως είναι

$\displaystyle \left(1 - \frac{1}{s_1}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{s_n}\right) \geqslant \frac{1}{2^t} \frac{10}{11} \left(\frac{2}{3}\right)^{3-t} = \frac{80}{297}\left(\frac{3}{4}\right)^t$

Για $t \leqslant 2$ παίρνουμε

$\displaystyle \left(1 - \frac{1}{s_1}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{s_n}\right)\geqslant \frac{5}{33} > \frac{7}{66},$

άτοπο. Άρα t = 3

. Έστω

. Τότε θα θέλαμε $\displaystyle 1 - \frac{1}{s_1} = \frac{8 \cdot 7}{66} = \frac{28}{33},$ άτοπο.

Δεν πρόσεξα ότι το πρόβλημα ζητούσε διαφορετικούς φυσικούς. Η σωστή απάντηση είναι n=9

και λαμβάνεται για $n_1=2,n_2=3,\ldots,n_8=9$ και n_9 = 22

.

Δεν μπορούμε με λιγότερους διότι τότε

$\displaystyle \left(1-\frac{1}{s_1}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{s_n}\right) \geqslant \left(1-\frac{1}{2}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{9}\right) = \frac{1}{9} > \frac{7}{66}.$

Λιγότεροι φυσικοί για γινόμενο

Λιγότεροι φυσικοί για γινόμενο

Re: Λιγότεροι φυσικοί για γινόμενο

Re: Λιγότεροι φυσικοί για γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση