Εξίσωση με max

#1

Από κάποιον Αγγλικό διαγωνισμό του 2016: Nα βρεθούν τα θετικά

που ικανοποιούν

$\displaystyle{ 5x \cdot \max \left (8x, \, \frac {1} {8x} \right ) \cdot \max \left (25x, \, \frac {1} {25x} \right ) = 1}$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 16, 2018 8:48 am
Από κάποιον Αγγλικό διαγωνισμό του 2016: Nα βρεθούν τα θετικά που ικανοποιούν

$\displaystyle{ 5x \cdot \max \left (8x, \, \frac {1} {8x} \right ) \cdot \max \left (25x, \, \frac {1} {25x} \right ) = 1}$

Για

έχουμε

$8x=\frac{1}{8x}\Leftrightarrow x=\frac{1}{8},$

$8x>\frac{1}{8x}\Leftrightarrow x>\frac{1}{8},$

$8x<\frac{1}{8x}\Leftrightarrow 0<x<\frac{1}{8},$

$25x=\frac{1}{25x}\Leftrightarrow x=\frac{1}{25},$

$25x>\frac{1}{25x}\Leftrightarrow x>\frac{1}{25},$

$25x<\frac{1}{25x}\Leftrightarrow 0<x<\frac{1}{25}.$

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις 1) $0<x\leq \frac{1}{25},$ 2) $\frac{1}{25}<x \leq \frac{1}{8},$ 3) $\frac{1}{8} < x.$

Περίπτωση 1

$5x\frac{1}{8x}\frac{1}{25x}=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{40}$ (δεκτή)

Περίπτωση 2

$5x\frac{1}{8x}25x=1\Leftrightarrow x=\frac{8}{125}$ (δεκτή)

Περίπτωση 3

$5x\cdot 8x\cdot 25x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{10}$ (απορρίπτεται)

Οι λύσεις τελικά είναι η $x=\frac{1}{40}$ και η $x=\frac{8}{125}$

#3

Την ίδια λύση έχω κατά νου.

Ας προσθέσω ότι ο περιορισμός x>0

της εκφώνησης είναι στην πραγματικότητα περιττός καθώς δεν υπάρχουν αρνητικές λύσεις: Για x<0

το αριστερό μέλος έχει αρνητικό πρόσημο ενώ το δεξί, θετικό.

Εξίσωση με max

Εξίσωση με max

Re: Εξίσωση με max

Re: Εξίσωση με max

Μέλη σε σύνδεση