Ταυτότητα με άρρητους
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Ταυτότητα με άρρητους
Την κεντρική ιδέα για την παρακάτω άσκηση την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Τώρα προσθέτω ένα βηματάκι ακόμη.
Έστω φυσικός. Δείξτε ότι υπάρχει φυσικός με
Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.
Έστω φυσικός. Δείξτε ότι υπάρχει φυσικός με
Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Ταυτότητα με άρρητους
Είναι:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 27, 2018 8:00 pmΤην κεντρική ιδέα για την παρακάτω άσκηση την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Τώρα προσθέτω ένα βηματάκι ακόμη.
Έστω φυσικός. Δείξτε ότι υπάρχει φυσικός με
Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.
Παρατηρούμε πως για και η ισότητα αληθεύει.
Άρα υπάρχει o . (διορθώστεμε αν ήμουν ημιτελής)
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Τετ Νοέμ 28, 2018 12:11 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ταυτότητα με άρρητους
Ερώτηση: Δε θα μπορούσαμε απλά να πούμε για ισχύει ως ισότητα. Και απλά να μη προσθέσουμε τίποτα άλλο; Δείξαμε αυτό που θέλει η άσκηση... !!
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ταυτότητα με άρρητους
Αν είναι να βάλεις γιατί δεν το έβαλες στην αρχική, δηλαδή την , αλλά έπρεπε να κάνεις έναν κυκεώνα πράξεων μέχρι να φτάσεις στην σαφώς δυσκολότερη παράσταση και να βάλεις εκεί . Χάνουμε την ουσία.ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 27, 2018 11:53 pmΕίναι:
Παρατηρούμε πως για και η ισότητα αληθεύει.
Άρα υπάρχει o .
Αυτό που έχει μεγαλύτερη σημασία είναι ότι η λύση είναι πάρα πολλή προβληματική. Πρώτα απ' όλα το δίνεται στην άσκηση. Δεν το επιλέγουμε εμείς. Με απλά λόγια, αν σου δώσω ένα , όποιο και να είναι όπως ή ή οποιοδήποτε άλλο, δείξε ότι υπάρχει που εξαρτάται από το εκάστοτε έτσι ώστε να ισχύει η δοθείσα ταυτότητα.
Αν δεν είναι κατανοητά αυτά που γράφω, θα συνιστούσα να ρωτούσες τον Μαθηματικό σου στο Σχολείο για να σου εξηγήσει γιατί είναι τόσο λάθος ο συλλογισμός σου. Εδώ είμαστε για να σε βοηθήσουμε να βελτιώνεσαι, και θα το κάνουμε με χαρά.
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Ταυτότητα με άρρητους
Κατανοώ απόλυτα τι λέτε. Ωστόσο θα συμβουλευτώ και τον μαθηματικό μου.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 28, 2018 12:19 amΑν είναι να βάλεις γιατί δεν το έβαλες στην αρχική, δηλαδή την , αλλά έπρεπε να κάνεις έναν κυκεώνα πράξεων μέχρι να φτάσεις στην σαφώς δυσκολότερη παράσταση και να βάλεις εκεί . Χάνουμε την ουσία.ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 27, 2018 11:53 pmΕίναι:
Παρατηρούμε πως για και η ισότητα αληθεύει.
Άρα υπάρχει o .
Αυτό που έχει μεγαλύτερη σημασία είναι ότι η λύση είναι πάρα πολλή προβληματική. Πρώτα απ' όλα το δίνεται στην άσκηση. Δεν το επιλέγουμε εμείς. Με απλά λόγια, αν σου δώσω ένα , όποιο και να είναι όπως ή ή οποιοδήποτε άλλο, δείξε ότι υπάρχει που εξαρτάται από το εκάστοτε έτσι ώστε να ισχύει η δοθείσα ταυτότητα.
Αν δεν είναι κατανοητά αυτά που γράφω, θα συνιστούσα να ρωτούσες τον Μαθηματικό σου στο Σχολείο για να σου εξηγήσει γιατί είναι τόσο λάθος ο συλλογισμός σου. Εδώ είμαστε για να σε βοηθήσουμε να βελτιώνεσαι, και θα το κάνουμε με χαρά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ταυτότητα με άρρητους
Επαναφορά για όλους.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 27, 2018 8:00 pmΤην κεντρική ιδέα για την παρακάτω άσκηση την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Τώρα προσθέτω ένα βηματάκι ακόμη.
Έστω φυσικός. Δείξτε ότι υπάρχει φυσικός με
Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.
Re: Ταυτότητα με άρρητους
Παρατηρούμε ότι για οποιοδήποτε .
Έτσι, αν , τότε , οπότε
και
Άρα θα είναι
και
Αρκεί να δείξουμε, λοιπόν, ότι αν για , τότε ο είναι ακέραιος τέτοιος ώστε για
Πράγματι, είναι και για κάθε , οπότε οι παραπάνω ισχυρισμοί έπονται εύκολα με επαγωγή.
Ο ισχυρισμός έπεται, λοιπόν, με .
Φιλικά,
Αχιλλέας
Έτσι, αν , τότε , οπότε
και
Άρα θα είναι
και
Αρκεί να δείξουμε, λοιπόν, ότι αν για , τότε ο είναι ακέραιος τέτοιος ώστε για
Πράγματι, είναι και για κάθε , οπότε οι παραπάνω ισχυρισμοί έπονται εύκολα με επαγωγή.
Ο ισχυρισμός έπεται, λοιπόν, με .
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ταυτότητα με άρρητους
Δίνω ακόμη μία απόδειξη:
Από το διωνυμικό ανάπτυγμα γνωρίζουμε ότι υπάρχουν ακέραιοι ώστε . Θέλω να δείξω ότι αφού τότε μπορώ να πάρω ή ανάλογα με το πιο είναι το μικρότερο.
Ο ισχυρισμός ισχύει για αφού και . Έστω ότι ο ισχυρισμός ισχύει για . Τότε
οπότε και . Τότε όμως
Οπότε το ζητούμενο ισχύει από την αρχή της μαθηματικής επαγωγής.
Από το διωνυμικό ανάπτυγμα γνωρίζουμε ότι υπάρχουν ακέραιοι ώστε . Θέλω να δείξω ότι αφού τότε μπορώ να πάρω ή ανάλογα με το πιο είναι το μικρότερο.
Ο ισχυρισμός ισχύει για αφού και . Έστω ότι ο ισχυρισμός ισχύει για . Τότε
οπότε και . Τότε όμως
Οπότε το ζητούμενο ισχύει από την αρχή της μαθηματικής επαγωγής.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ταυτότητα με άρρητους
Αυτό που είχα στον νου είναι κοντά στην μέθοδο του Δημήτρη, αλλά με μικροδιαφορές. Ας το δούμε χάριν ποικιλίας.
Από ανάπτυγμα διωνύμου είναι , όπου θετικοί ακέραιοι, οπότε και . Εύκολα βλέπουμε (γνωστό άλλωστε) ότι ισχύει για τα ίδια αυτά η σχέση (αιτία: το δεύτερο ανάπτυγμα είναι άθροισμα όρων της μορφής που για άρτιο είναι ο ίδιος ακέραιος με τον αντίστοιχο όρο του αναπτύγματος ενώ για περιττό είναι στο ένα ανάπτυγμα και στο άλλο).
Πολλαπλασιάζοντας τις δύο κατά μέλη είναι . Άρα που σημαίνει ότι οι ποσότητες μέσα στις ρίζες στην διαφέρουν κατά . Παίρνουμε λοιπόν τον μικρότερο.
Από ανάπτυγμα διωνύμου είναι , όπου θετικοί ακέραιοι, οπότε και . Εύκολα βλέπουμε (γνωστό άλλωστε) ότι ισχύει για τα ίδια αυτά η σχέση (αιτία: το δεύτερο ανάπτυγμα είναι άθροισμα όρων της μορφής που για άρτιο είναι ο ίδιος ακέραιος με τον αντίστοιχο όρο του αναπτύγματος ενώ για περιττό είναι στο ένα ανάπτυγμα και στο άλλο).
Πολλαπλασιάζοντας τις δύο κατά μέλη είναι . Άρα που σημαίνει ότι οι ποσότητες μέσα στις ρίζες στην διαφέρουν κατά . Παίρνουμε λοιπόν τον μικρότερο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες