Μοναδική λύση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

sov_arvyd
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 27, 2016 8:26 pm

Re: Μοναδική λύση

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sov_arvyd » Πέμ Αύγ 29, 2019 9:42 am

christinat έγραψε:
Πέμ Αύγ 29, 2019 12:46 am
x^{2}-4x+7-ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=0

Για να έχει η εξίσωση μοναδική ρίζα πρέπει:

D=0\Rightarrow -12+4ln(\frac{ax}{x^{2}+4})=0\Rightarrow ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=3\Rightarrow e^{3}=\frac{ax }{x^{2}+4} \Rightarrow e^{3}x^{2}-ax +4e^{3}=0(1)


Πρέπει D_{1}=0\Rightarrow a^{2}-16e^{6}=0\Rightarrow a=\pm 4e^{3}

Αν a=-4e^{3} η εξίσωση (1) είναι αδύνατη
Αν a=4e^{3} η (1) έχει μοναδική ρίζα x=2

Άρα a=4e^{3}
Δεν νομίζω πως το κοκκινισμένο είναι σωστό σαν συλλογισμός. Για παράδειγμα η x^2+x-\eta \mu x=0 έχει μοναδική λύση το 0, αν όμως πάρω την "διακρίνουσά" της ως εξής: D(x)=1+4\eta \mu x, η μοναδική λύση της εξίσωσης δεν μηδενίζει την "διακρίνουσα".



Λέξεις Κλειδιά:
christinat
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μοναδική λύση

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christinat » Πέμ Αύγ 29, 2019 10:00 am

sov_arvyd έγραψε:
Πέμ Αύγ 29, 2019 9:42 am
christinat έγραψε:
Πέμ Αύγ 29, 2019 12:46 am
x^{2}-4x+7-ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=0

Για να έχει η εξίσωση μοναδική ρίζα πρέπει:

D=0\Rightarrow -12+4ln(\frac{ax}{x^{2}+4})=0\Rightarrow ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=3\Rightarrow e^{3}=\frac{ax }{x^{2}+4} \Rightarrow e^{3}x^{2}-ax +4e^{3}=0(1)


Πρέπει D_{1}=0\Rightarrow a^{2}-16e^{6}=0\Rightarrow a=\pm 4e^{3}

Αν a=-4e^{3} η εξίσωση (1) είναι αδύνατη
Αν a=4e^{3} η (1) έχει μοναδική ρίζα x=2

Άρα a=4e^{3}
Δεν νομίζω πως το κοκκινισμένο είναι σωστό σαν συλλογισμός. Για παράδειγμα η x^2+x-\eta \mu x=0 έχει μοναδική λύση το 0, αν όμως πάρω την "διακρίνουσά" της ως εξής: D(x)=1+4\eta \mu x, η μοναδική λύση της εξίσωσης δεν μηδενίζει την "διακρίνουσα".
Όντως δεν είναι σωστός γιατί η διακρινουσα είναι συνάρτηση του χ
Αλλά δεν πιστεύω ότι υπάρχει άλλος τρόπος που λύνεται με γνώσεις μέχρι β'λυκειου
Διαφορετικά,λύνεται εύκολα με μονοτονία και παραγωγούς


panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: Μοναδική λύση

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Παρ Αύγ 30, 2019 12:10 pm

Εγώ έθεσα f(x)=ln(\frac{ax}{x^{2}+4})-x^{2}+4x-7 με f'(x)=\frac{(x-2)(-2x^{3}-9x-2)}{x(x^{2}+4)}. Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στο 2 το f(2). Συνεπώς το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το(-00,f(2)]. Αν f(2)< 0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη, αν f(2)> 0 η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες. Άρα για να έχει μοναδική λύση πρέπει f(2)=0\Leftrightarrow a=4e^{3}.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1825
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μοναδική λύση

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Αύγ 31, 2019 3:06 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 12, 2019 11:42 am
Η συνάρτηση f(x)=\dfrac{x}{x^2+4} , έχει μέγιστη τιμή το \dfrac{1}{4} , για x=2 .

Πράγματι για x>0 : \dfrac{x}{x^2+4}\leq \dfrac{1}{4}\Leftarrow 4x\leq x^2+4\Leftarrow 0\leq(x-2)^2 , το οποίο ισχύει .

Συνεπώς η \dfrac{ax}{x^2+4} , a>0 , έχει μέγιστο το \dfrac{a}{4} , για x=2 αλλά και η g(x)=\ell n\dfrac{ax}{x^2+4}

έχει μέγιστο το \ell n\dfrac{a}{4} , για x=2 . Φυσικά η t(x)=x^2-4x+7 , έχει ελάχιστο το 3 , για x=2 .

Οι δύο καμπύλες έχουν μοναδικό κοινό σημείο , όταν το μέγιστο της g συμπέσει με το ελάχιστο της t ,

( αφού και τα δύο επιτυγχάνονται για x=2) , δηλαδή αν : \ell n\dfrac{a}{4}=3\Leftrightarrow a=4e^3 .Μοναδική λύση.png

Σημείωση : Η μοναδικότητα του ελαχίστου της t είναι γνωστή . Η μοναδικότητα του μεγίστου της g ,παρότι

μπορεί να βρεθεί , θεωρώ ότι δεν απαιτείται , αφού η εύρεση του ενός κοινού σημείου , αυτόματα αποκλείει

την ύπαρξη δεύτερου , διότι για κάθε άλλο x είναι g(x)\leq 3 και t(x)>3
Ο Θανάσης εδώ εννοεί την μοναδικότητα της θέσης του ελαχίστου ή του μεγίστου. (ή όχι;)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης