Τέλειο τετράγωνο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4230
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Τέλειο τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Ιούλ 06, 2019 10:28 pm

Να βρεθούν όλες οι τιμές του φυσικού αριθμού n , ώστε ο αριθμός : \displaystyle{4^n +2^n +n^2} , να είναι τέλειο τετράγωνο



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1496
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τέλειο τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιούλ 07, 2019 12:11 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Σάβ Ιούλ 06, 2019 10:28 pm
Να βρεθούν όλες οι τιμές του φυσικού αριθμού n , ώστε ο αριθμός : \displaystyle{4^n +2^n +n^2} , να είναι τέλειο τετράγωνο
Γεια σου Δημήτρη.

Έστω, 4^n+2^n+n^2=k^2 με k θετικό ακέραιο.

Προφανώς, το n=0 δεν επαληθεύει, έστω λοιπόν n \geqslant 1. Είναι, k^2 =4^n+2^n+n^2 >4^n \Rightarrow k>2^n \Rightarrow k=2^n+a με a θετικό ακέραιο.

Αντικαθιστούμε, και ισοδύναμα έχουμε a^2+2^{n+1} a=2^n+n^2.

Αν a \geqslant n, τότε a^2+2^{n+1} >n^2+2^n, άτοπο. Οπότε, n>a. Έστω n=a+m με m θετικό ακέραιο.

Τότε, ισοδύναμα είναι 2^{a+m}(2a-1)=2am+m^2.

Έστω καταρχήν a=1 \Rightarrow 2^{m+1}=2m+m^2, άτοπο με επαγωγή για m \geqslant 3, οπότε m \in \{1,2 \} και έχουμε τη λύση m=2 συνεπώς n=3 που είναι δεκτή.

Αν πάλι m=1 τότε 2^{a+1}(2a-1)=2a+1, άτοπο \pmod 2.

Έστω τώρα, a,m \geqslant 2.

Τότε είναι 2am+m^2=2^{a+m}(2a-1) \geqslant 3 \cdot 2^{a+m}.

Θεωρώ τη συνάρτηση, f(m)=3 \cdot 2^{a+m}-m^2-2am και f'(m)=3 \cdot 2^{a+m} \ln (a+m)-2m-2a, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα καθώς a+m=x \geqslant 4 συνεπώς f'(m)=3 \cdot 2^x \ln x-2x >3 \cdot 2^x-2x>0 (το τελευταίο επαγωγικά).

Άρα, f(m) \geqslant f(2)=3 \cdot 2^{a+2}-4a-2, οπότε 2^{a+2}-4a-2 \leqslant f(m) \leqslant 0, άτοπο επαγωγικά.

Τελικά, μοναδική λύση η n=3.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1496
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τέλειο τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιούλ 07, 2019 12:18 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Ιούλ 07, 2019 12:11 am
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Σάβ Ιούλ 06, 2019 10:28 pm
Να βρεθούν όλες οι τιμές του φυσικού αριθμού n , ώστε ο αριθμός : \displaystyle{4^n +2^n +n^2} , να είναι τέλειο τετράγωνο
Γεια σου Δημήτρη.

Έστω, 4^n+2^n+n^2=k^2 με k θετικό ακέραιο.

Προφανώς, το n=0 δεν επαληθεύει, έστω λοιπόν n \geqslant 1. Είναι, k^2 =4^n+2^n+n^2 >4^n \Rightarrow k>2^n \Rightarrow k=2^n+a με a θετικό ακέραιο.

Αντικαθιστούμε, και ισοδύναμα έχουμε a^2+2^{n+1} a=2^n+n^2.

Αν a \geqslant n, τότε a^2+2^{n+1} >n^2+2^n, άτοπο. Οπότε, n>a. Έστω n=a+m με m θετικό ακέραιο.

Τότε, ισοδύναμα είναι 2^{a+m}(2a-1)=2am+m^2.

Έστω καταρχήν a=1 \Rightarrow 2^{m+1}=2m+m^2, άτοπο με επαγωγή για m \geqslant 3, οπότε m \in \{1,2 \} και έχουμε τη λύση m=2 συνεπώς n=3 που είναι δεκτή.

Αν πάλι m=1 τότε 2^{a+1}(2a-1)=2a+1, άτοπο \pmod 2.

Έστω τώρα, a,m \geqslant 2.
Αλλιώς από αυτό το σημείο, για μια πιο εντός φακέλου λύση :) .

Ισοδύναμα, έχουμε 2^{a+m}=m+\dfrac{m^2+m}{2a-1}, οπότε για a \geqslant 2, προκύπτει LHS \geqslant 2^{m+2} και RHS \leqslant m+\dfrac{m^2+m}{3}.

Άρα, m+\dfrac{m^2+m}{3} \geqslant RHS=LHS \geqslant 2^{m+2}, άρα 3 \cdot 2^{m+2} \leqslant m^2+4m άτοπο επαγωγικά για  m \geqslant 2.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
miltosk
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Τέλειο τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Κυρ Ιούλ 07, 2019 12:27 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Σάβ Ιούλ 06, 2019 10:28 pm
Να βρεθούν όλες οι τιμές του φυσικού αριθμού n , ώστε ο αριθμός : \displaystyle{4^n +2^n +n^2} , να είναι τέλειο τετράγωνο
Καλησπέρα. Ωραίες οι λύσεις και Ορέστη συγχαρητήρια για την επιτυχία σου στη βαλκανιάδα.
Μια άλλη προσέγγιση:
Έστω 4^n+2^n+n^2=k^2
Είναι προφανές ότι:
k^2=4^n+2^n+n^2>4^n
Για n=1, n=2 με αντικατάσταση βλέπουμε ότι:
(2^n+1)^2=4^n+2*2^n+1>4^n+2^n+n^2=k^2
Ακόμη επαγωγικά αποδυκνείεται ότι:
(2^n+1)^2=4^n+2*2^n+1\geqslant4^n+2^n+n^2=k^2
για κάθε n\geqslant3. Καταφέραμε έτσι να εγκλωβίσουμε το k μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων δηλαδή: 2^n<k\leq2^n+1
Συνεπώς πρέπει k=2^n+1
Αντικαθιστώντας στην αρχική και χρησιμοποιώντας την προηγούμενη επαγωγή λαμβάνουμε n=3.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης