Μέγιστη τιμή διακρίνουσας

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Μέγιστη τιμή διακρίνουσας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Ιούλ 19, 2019 12:06 pm

Έστω a,b,c ακέραιοι με a\neq 0 και f(x)=ax²+bx+c,x∈R.

Επίσης για τους ακέραιους k,l,m ισχύει  f(k)=f(l)=0, f(m)=z\neq 0 όπου z ακέραιος (σταθερός).

Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή της διακρίνουσας του τριωνύμου f(x).



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2452
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστη τιμή διακρίνουσας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 24, 2019 2:52 pm

Επαναφορά.
το συμπέρασμα είναι ότι το μέγιστο είναι 4z^{2}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2452
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστη τιμή διακρίνουσας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 26, 2019 10:52 am

Εστω f(x)=a(x-k)(x-l)

Η διακρίνουσα είναι D=a^{2}(k-l)^{2}

έχουμε ότι a(m-k)(m-l)=z

Χρησιμοποιώντας ότι για μη μηδενικούς ακέραιους
ισχύει |q|+|r|\leq 2|q||r|

παίρνουμε

D=a^{2}(k-l)^{2}=a^{2}((m-l)-(m-k))^{2}\leq a^{2}(|m-l|+|m-k|)^{2}\leq
4a^{2}|m-k|^{2}|m-l|^{2}=4z^{2}

Η τιμή αυτή πιάνεται αν επιλέξουμε τα k,l ώστε m-k=1,m-l=-1 και το a=-z.

Αρα η μέγιστη τιμή της διακρίνουσας είναι 4z^{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης