Παραμετρικό σύστημα

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για τις οποίες το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \left ( 2x+3y \right )^{2} =y^4-18ay^2+84a^2-6a+172 \\ x^2+y^2=13 \end{matrix}\right.}$

έχει τουλάχιστον μία λύση. Βρείτε αυτές τις λύσεις. (για Β', Γ' Λυκείου)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 02, 2019 10:26 am
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \left ( 2x+3y \right )^{2} =y^4-18ay^2+84a^2-6a+172 \\ x^2+y^2=13 \end{matrix}\right.}$

έχει τουλάχιστον μία λύση. Βρείτε αυτές τις λύσεις. (για Β', Γ' Λυκείου)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

περιμένω λύση από τους ''μικρούς''

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 02, 2019 10:26 am
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \left ( 2x+3y \right )^{2} =y^4-18ay^2+84a^2-6a+172 \\ x^2+y^2=13 \end{matrix}\right.}$

έχει τουλάχιστον μία λύση. Βρείτε αυτές τις λύσεις. (για Β', Γ' Λυκείου)

Η πρώτη σχέση γράφεται

$( 2x+3y )^{2} =(y^2-9a^{2})^{2}+3(a-1)^{2}+13^{2}$

Αρα
$|2x+3y|\geq 13$

Αλλά η απόσταση της ευθείας 2x+3y+c=0

από το κέντρο
του κύκλου x^2+y^2=13

είναι

$\frac{|c|}{\sqrt{13}}$
Για να έχει λοιπόν λύση το σύστημα πρέπει |2x+3y|= 13

Ετσι προκύπτει ότι a=1

και $(y^2-9a^{2})^{2}=0$

Αρα y=3 or -3

και αντικαθιστώντας στις

|2x+3y|= 13

βρίσκουμε τις λύσεις (x,y)=(2,3) or (-2,-3)

Παραμετρικό σύστημα

Παραμετρικό σύστημα

Re: Παραμετρικό σύστημα

Re: Παραμετρικό σύστημα

Μέλη σε σύνδεση