ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 919
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Σάβ Αύγ 24, 2019 1:08 am

Σας προτείνω το θέμα 337 από το αρχείο του Θάνου.

Αν η εξίσωση x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0 έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα , αποδείξτε ότι a^{2}+b^{2}\geq 8.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1390
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Αύγ 24, 2019 12:30 pm

Γεια σου Τηλέμαχε!

Έστω \displaystyle x μια πραγματική ρίζα της δοσμένης εξίσωσης (προφανώς, \displaystyle x \ne 0). Διαιρώντας με \displaystyle {x^2} και συμπληρώνοντας τα τετράγωνα, βρίσκουμε ότι

\displaystyle {x^2} + ax + 2 + \frac{b}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow

\displaystyle  \Rightarrow {\left( {x + \frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{x} + \frac{b}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} - 2 = \frac{{{a^2} + {b^2} - 8}}{4} \ge 0 \Rightarrow

\displaystyle  \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 8.

Το ίσον ισχύει όταν \displaystyle a =  - 2x και \displaystyle b =  - \frac{2}{x}, οπότε

\displaystyle {a^2} + {b^2} = 8 \Leftrightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 1.

Για \displaystyle x = 1, το ελάχιστο λαμβάνεται όταν \displaystyle \left( {a,b} \right) = \left( { - 2, - 2} \right), ενώ για \displaystyle x = -1\, όταν \displaystyle \left( {a,b} \right) = \left( {2,2} \right).


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8176
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 24, 2019 6:11 pm

Αλλιώς:

Έστω x μια ρίζα της εξίσωσης. Έχουμε: \displaystyle  (a^2+b^2)(x^6 + x^2) \geqslant (ax^3 + bx)^2 = (x^2+1)^4

Θέτοντας t = x+\frac{1}{x} παίρνουμε:

\displaystyle  a^2 + b^2 \geqslant \frac{x^4t^4}{x^4(x^2 + \frac{1}{x^2})} = \frac{t^4}{t^2-2} = 8 + \frac{t^4-8t^2+16}{t^2-2} = 8 + \frac{(t^2-4)^2}{t-2}.

Επειδή επιπλέον t^2 \geqslant 4 για κάθε x, τότε a^2+b^2 \geqslant 8.

Η ισότητα ισχύει μόνο αν t^2 = 4, το οποίο είναι ισοδύναμο με x = \pm 1. Για αυτά τα x είναι άμεσο ότι ισχύει η ισότητα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης