Ανισοϊσότητα

#1

Αν $x,y\in \mathbb{R},$ να δείξετε ότι $4(x^2+xy+y^2)^3\geq 27x^2y^2(x+y)^2.$ Πότε ισχύει το ίσον;

Ευκλείδης Α Λυκείου

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 30, 2019 9:48 am
Αν $x,y\in \mathbb{R},$ να δείξετε ότι $4(x^2+xy+y^2)^3\geq 27x^2y^2(x+y)^2.$ Πότε ισχύει το ίσον;

Ευκλείδης Α Λυκείου

Η λύση έχει κάποια λάθη (ελπίζω να διορθώνονται)
Καλημέρα!
Η ανισότητα γράφεται $4\left ( (x+y)^2-xy \right )^3\geq 27(xy)^2(x+y)^2$

Θέτω x+y=a,xy=b

και ισχύει $a^2\geq 4b\Leftrightarrow b\leq \dfrac{a^2}{4}\,\,\ ,(1)$

Εκτελούμε τις πράξεις και αρκεί $4a^6-12a^4b-15a^2b^2-4b^3\geq 0$

Έχουμε $4a^6-12a^4b-15a^2b^2-4b^3\overset{(1)}{\geq }4a^6-12a^2\dfrac{a^4}{4}-\dfrac{15}{16}a^6-\dfrac{a^6}{64}=0$

Η ισότητα πιάνεται για a^2=4b

δηλαδή όταν x=y

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 30, 2019 10:27 am

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 30, 2019 9:48 am
Αν $x,y\in \mathbb{R},$ να δείξετε ότι $4(x^2+xy+y^2)^3\geq 27x^2y^2(x+y)^2.$ Πότε ισχύει το ίσον;

Ευκλείδης Α Λυκείου
Καλημέρα!
Η ανισότητα γράφεται $4\left ( (x+y)^2-xy \right )^3\geq 27(xy)^2(x+y)^2$

Θέτω και ισχύει $a^2\geq 4b\Leftrightarrow b\leq \dfrac{a^2}{4}\,\,\ ,(1)$

Εκτελούμε τις πράξεις και αρκεί $4a^6-12a^4b-15a^2b^2-4b^3\geq 0$

Έχουμε $4a^6-12a^4b-15a^2b^2-4b^3\overset{(1)}{\geq }4a^6-12a^2\dfrac{a^4}{4}-\dfrac{15}{16}a^6-\dfrac{a^6}{64}=0$

Η ισότητα πιάνεται για δηλαδή όταν .

Πως προκύπτει η

$-15a^2b^2\geq -\dfrac{15}{16}a^6$ ;

#4

Επεξεργασία: Η λύση μου υποφέρει από το ίδιο λάθος με αυτό του Πρόδρομου. Θα επανέλθω.

Το ίδιο πρώτο βήμα με του Πρόδρομου αλλά θα χρησιμοποιήσω s = x+y

και

. Θα χρησιμοποιήσω επίσης τη γνωστή ανισότητα $s^2 \geqslant 4p$ με ισότητα αν και μόνο αν x=y

.

Θέλουμε να δείξουμε ότι: $\displaystyle 4(s^2-p)^3 \geqslant 27p^2s^2$

Έχουμε:

$\displaystyle 4(s^2-p)^3 \geqslant 4\left(s^2 - \frac{s^2}{4} \right)^3 = \frac{27s^6}{16} \geqslant 27s^2p^2$

όπως θέλαμε να δείξουμε. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν s^2 = 4p

το οποίο είναι ισοδύναμο με x=y

.

Ίσως λίγο δύσκολη για Ευκλείδη Α' Λυκείου.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 30, 2019 9:48 am
Αν $x,y\in \mathbb{R},$ να δείξετε ότι $4(x^2+xy+y^2)^3\geq 27x^2y^2(x+y)^2.$ Πότε ισχύει το ίσον;

Ευκλείδης Α Λυκείου

Συνεχίζω από το σημείο $4a^6-12a^4b-15a^2b^2-4b^3\geq 0$ .

Είναι $4a^6-12a^4b-15a^2b^2-4b^3=4a^6+4a^4b+a^2b^2-16a^4b-16a^2b^2-4b^3=a^2(4a^2+4a^2b+b^2)-..-4b(4a^4+4a^2b+b^2)=(a^2-4b)(2a^2+b)^2\geq 0$

Η ισότητα όταν a^2=4b

,

ή όταν $2a^2+b=0 \Leftrightarrow 2x^2+5xy+2y^2=0\Leftrightarrow x=-2y,x=\dfrac{-y}{2}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 30, 2019 9:48 am
Αν $x,y\in \mathbb{R},$ να δείξετε ότι $4(x^2+xy+y^2)^3\geq 27x^2y^2(x+y)^2.$ Πότε ισχύει το ίσον;

Ευκλείδης Α Λυκείου

Αν τα

είναι ομόσημα τότε οι λύσεις του Δημήτρη και του Πρόδρομου
είναι μια χαρά.

Αν είναι ετερόσημα γράφεται

$4(x^2-xy+y^2)^3\geq 27x^2y^2(x-y)^2.$
με x,y

ομόσημα.

Λόγω ομογενειας μπορούμε να υποθέσουμε ότι x-y=1

Θέτοντας

η προς απόδειξη γράφεται

$4(1+a)^3\geq 27a^2$

με

μη αρνητικό.

Αλλά $4(1+a)^3- 27a^2=4(a-2)^2(a+\frac{1}{4})\geq 0$

για $a\geq 0$ .

ισότητα έχουμε σε αυτή την περίπτωση για x=2y

Δηλαδή στην αρχική έχουμε ισότητα αν x=y

η

Ορέστης Λιγνός · #7

Μία άλλη λύση.

Θέτω, x=yk

και αρκεί να δείξω ότι (μετά από κάποιες πράξεις) , $4y^6(k^2+k+1)^3 \geqslant 27y^6k^2(k+1)^2$ .

Αν y^6=0

τότε προφανώς η δοσμένη ισχύει ως ισότητα.

Αν $y^6 \neq 0$ , απλοποιώ και αρκεί $4(k^2+k+1)^3 \geqslant 27(k^2+k)^2$ .

Έστω, k^2+k=M

και αρκεί μετά τις πράξεις $(M-2)^2(4M+1) \geqslant 0$ που ισχύει διότι $(M-2)^2 \geqslant 0$ και $4M+1=4(k^2+k)+1=(2k+1)^2 \geqslant 0$ , οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Η ισότητα, όταν M=2

ή

.

Αν $M=2 \Rightarrow k^2+k=2 \Rightarrow k \in \{1,-2 \}$ άρα x=y

ή

.

Αν $M=-1/4 \Rightarrow k=-1/2 \Rightarrow x=\dfrac{-y}{2}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 30, 2019 9:48 am
Αν $x,y\in \mathbb{R},$ να δείξετε ότι $4(x^2+xy+y^2)^3\geq 27x^2y^2(x+y)^2.$ Πότε ισχύει το ίσον;

Ευκλείδης Α Λυκείου

Να το δουμε και λίγο διαφορετικά.
Αν y=0

προφανώς ισχύει.
Διαιρώντας με το

και θέτοντας $a=\frac{x}{y}$
γράφεται
$4(a^2+a+1)^3\geq 27a^2(a+1)^2$

Θέτοντας r=a(a+1)

γίνεται
$4(r+1)^3\geq 27r^2$
που ισχύει λόγω του ότι
$4(r+1)^3- 27r^2=4(r-2)^2(r+\frac{1}{4})$
και
$a(a+1)\geq \frac{1}{4}$

#9

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 30, 2019 12:48 pm
αρκεί $4(k^2+k+1)^3 \geqslant 27(k^2+k)^2$ .

Διαφορετικά από εδώ. Γνωρίζουμε ότι η διακρίνουσα του πολυωνύμου f(x) = x^3+px+q

είναι $\Delta = -4p^3-27q^2$ . Επιλέγοντας p = -(k^2+k+1)

και

αρκεί να δείξω ότι $\Delta \geqslant 0$ . Αυτό είναι ισοδύναμο με το πολυώνυμο να έχει τρεις πραγματικές ρίζες με την ισότητα να λαμβάνεται όταν τουλάχιστον δύο από τις ρίζες είναι ίσες.

Έχουμε f(x) = x^3-(k^2+k+1)x + k^2+k

. Παρατηρούμε ότι η x=1

είναι ρίζα οπότε παραγοντοποιούμε ως f(x) = (x-1)(x^2+x-(k^2+k)) = (x-1)(x-k)(x+k+1)

. Άρα όντως όλες οι ρίζες είναι πραγματικές με ισότητα αν και μόνο αν k=1

ή

που δίνουν $k=1,-2,-\tfrac{1}{2}$ αντίστοιχα.

ksofsa · #10

Μια ακόμα λύση:

Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:

1) Οι x,y

είναι ομόσημοι.

Τότε, δεδομένης της μορφής της ανισότητας , μπορώ να υποθέσω ότι x,y

θετικοί, χωρίς βλάβη της γενικότητας.

Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχω

$\frac{27}{4}x^2y^2(x+y)^2=27xy\cdot \frac{x(x+y)}{2}\cdot \frac{y(x+y)}{2}\leq (\frac{x^2+y^2+4xy}{2})^3$

Επομένως αρκεί ν.δ.ό.

$(x^2+xy+y^2)^3\geq \frac{(x^2+4xy+y^2)^3}{2^3}\Leftrightarrow 2x^2+2xy+2y^2\geq x^2+4xy+y^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$ , που ισχύει.

2)Οι x,y

ετερόσημοι.

Εστω $x\geq 0,y\leq 0$ .

Θέτω $a=-y\geq 0$ .

Οπότε, η ανισότητα γράφεται:

$4(x^2-ax+a^2)^3\geq 27a^2x^2(x-a)^2$

Θέτω b=x-a

και υποθέτω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $b\geq 0$

Τότε η ανισότητα γράφεται

$4(a^2+ab+b^2)^3\geq 27a^2b^2(a+b)^2$ , που ισχύει λόγω της πρώτης περίπτωσης.

#11

Για την ιστορία: Την άσκηση την βρήκα σε ένα παλιό μου τετράδιο, όταν ήμουν ακόμα μαθητής. Την είχαμε κάνει στο φροντιστήριο με καθηγητή τον Λάζαρο Θρουμουλόπουλο και με την υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε (χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο) τον μετασχηματισμό x-y=a

και

Οπότε έχουμε:

$\displaystyle 4{({a^2} + 3b)^3} \ge 27{b^2}{({a^2} + 4b)^2} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {a^2}{(2{a^2} + 9b)^2} \ge 0,$ που ισχύει.

Η ισότητα επιτυγχάνεται για $\displaystyle a = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=y}$ ή $\displaystyle 2{a^2} + 9b = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{y = - 2x \vee y = - \frac{1}{2}x}$

User#0000 · #12

x=y=0

#13

nikhtas30 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 31, 2019 3:12 pm

Πώς προέκυψε αυτό;

User#0000 · #14

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 31, 2019 5:57 pm

nikhtas30 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 31, 2019 3:12 pm
Πώς προέκυψε αυτό;

Δεν ξέρω απλά είδα την ανίσωση και μου φάνηκε προφανές.

#15

nikhtas30 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 31, 2019 6:05 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 31, 2019 5:57 pm

nikhtas30 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 31, 2019 3:12 pm
Πώς προέκυψε αυτό;
Δεν ξέρω απλά είδα την ανίσωση και μου φάνηκε προφανές.

Κατ' αρχάς, καλωσόρισες στο φόρουμ!

Στο θέμα μας τώρα. Όταν σε μία ανισοϊσότητα εξετάζουμε πότε ισχύει το ίσον, πρέπει να τεκμηριώνουμε την απάντησή

μας. Για παράδειγμα $\displaystyle {a^2} + {b^2} \ge 2ab.$ Είναι προφανές ότι για a=b=0

ισχύει ως ισότητα. Δεν μπορούμε όμως να

σταθούμε μόνο σ' αυτό που βγήκε στην τύχη. Κοιτάζοντας πιο προσεκτικά, παρατηρούμε ότι $\displaystyle {(a - b)^2} \ge 0$ και η ισότητα

ισχύει για κάθε $\boxed{a=b}$ και όχι μόνο όταν παίρνουν την τιμή

Ομοίως και στην παραπάνω άσκηση.

#16

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 30, 2019 9:48 am
Αν $x,y\in \mathbb{R},$ να δείξετε ότι $4(x^2+xy+y^2)^3\geq 27x^2y^2(x+y)^2.$ Πότε ισχύει το ίσον;

Ευκλείδης Α Λυκείου

Αν $xy\geq 0$ είναι άμεσο από την χρήσιμη σχέση

$\displaystyle{x^2+xy+y^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2}$

και την $(x+y)^2\geq 4xy.$

Αν xy< 0

είναι η AM-GM για τους αριθμούς $\displaystyle{(x+y)^2, \ -\frac{xy}{2}, \ -\frac{xy}{2}.}$

#17

Ένα αρχαίο ποστ από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 829p332359

Ανισοϊσότητα

Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Μέλη σε σύνδεση