Πολυμεταβλητή ισότητα

Al.Koutsouridis · #1

Για ποιές μη αρνητικές τιμές των x,y,z

ικνανοποιείται η ισότητα

$\sqrt{x+y+z} + \sqrt{y+z}+\sqrt{z} = \sqrt{x+4y+9z}$ ;

Για Θαλή/Ευκλείδη Γ' Λυκείου. Πηγή το ρωσικό περιοδικό "Τα μαθηματικά στο σχολείο"

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 16, 2019 11:41 pm
Για ποιές μη αρνητικές τιμές των ικνανοποιείται η ισότητα

$\sqrt{x+y+z} + \sqrt{y+z}+\sqrt{z} = \sqrt{x+4y+9z}$ ;

Για Θαλή/Ευκλείδη Γ' Λυκείου

Θέτουμε

οπότε γίνεται

$\sqrt{a} + \sqrt{b}+\sqrt{c} = \sqrt{a+3b+5c}$ (1)

επίσης είναι $a\geq b\geq c\geq 0$
Αν a=0

τότε έχουμε την προφανή λύση όλα

Διαφορετικά θέτουμε
$t=\frac{b}{a},s=\frac{c}{a}$
όπου
$0\leq s\leq t\leq 1$

Η (1) γίνεται $1+\sqrt{t}+\sqrt{s}=\sqrt{1+3t+5s}$

Υψώνοντας στο τετράγωνο την τελευταία και κάνοντας τις πράξεις παίρνουμε

$\sqrt{t}+\sqrt{s}+\sqrt{ts}=t+2s$

Χρησιμοποιόντας τις συνθήκες προκύπτει ότι

$t+2s=\sqrt{t}+\sqrt{s}+\sqrt{ts}\geq t+s+s=t+2s$

Αρα $\sqrt{t}=t,\sqrt{s}=s$

δηλαδή τα t,s

είναι

η

Ετσι έχουμε τα παρακάτω

$s=t=0\Rightarrow y=z=0$

$s=t=1\Rightarrow y=x=0$

$s=0,t=1\Rightarrow x=z=0$

Τελικά μπορούμε να πούμε ότι οι λύσεις είναι αυτές που τουλάχιστον δύο
από τα x,y,z

είναι

#3

Ας το δούμε και γεωμετρικά. Έστω $x,y,z \geqslant 0$ ώστε να ισχύει η ισότητα.

Θεωρούμε στον χώρο τα σημεία $O = (0,0,0), A = (\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}), B = (\sqrt{x},2\sqrt{y},2\sqrt{z})$ και $C = (\sqrt{x},2\sqrt{y},3\sqrt{z})$ .

Τότε $(OA) = \sqrt{x+y+z}, (AB) = \sqrt{y+z}, (BC) = \sqrt{z}$ και $(OC) = \sqrt{x+4y+9z}$ . Έχουμε λοιπόν (OA)+(AB)+(BC) = (OC)

οπότε η ισότητα λαμβάνεται αν και μόνο αν τα O,A,B,C

είναι συνευθειακά και με αυτήν την σειρά.

Περίπτωση 1: Αν $x \neq 0$ , επειδή $OA \parallel AB$ πρέπει A=B

και άρα και y=z=0

. Αντιστρόφως αν y=z=0

τότε ισχύει η ισότητα.
Περίπτωση 2: Αν x =0

αλλά $y \neq 0$ , επειδή $OB \parallel BC$ πρέπει B=C

και άρα και z=0

. Αντιστρόφως αν x=z=0

τότε ισχύει η ισότητα.
Περίπτωση 3: Αν x = y =0

τότε ισχύει η ισότητα.

Άρα έχουμε ισότητα αν και μόνο αν τουλάχιστον δύο από τα x,y,z

είναι ίσα με

.

#4

Ουσιαστικά αυτό που γράφει ο Δημήτρης, αλλά άμεσα. Από Minkowski,

$\displaystyle{\sqrt{x+y+z} + \sqrt{y+z}+\sqrt{z} \geq\sqrt{x+(\sqrt{y}+\sqrt{y})^2+(\sqrt{z}+\sqrt{z}+\sqrt{z})^2}=\sqrt{x+4y+9z}.}$

Οπότε πρέπει να έχουμε ισότητα στην παραπάνω και τα υπόλοιπα είναι απλά.

Al.Koutsouridis · #5

Για λόγους πλουραλισμού άλλη μια προσέγγιση με χρήση ιδιοτήτων δευτευροβάθμιου τριωνύμου.

Αρχικά εξετάζουμε αν υπάρχουν θετικές λύσεις της εξίσωσης, αντικαθυστούμε με a,b,c

τους όρους του αθροίσματους του αριστερού μέλους της. Παρατηρούμε ότι a >b>c

και η εξίσωση μπορεί να γραφεί στην μορφή

$\left ( a+b+c\right )^2= a^2+3b^2+5c^2$

ή γράφοντας την ως τριώνυμο ως προς

Ψάχνουμε λύσεις της εξίσωσεις στο διάστημα $\left (0,b \right)$ , έχουμε όμως

f(0)=-ab+b^2 < 0

και

. Άρα δεν υπάρχουν θετικές λύσεις στο εν λόγω διάστημα. Οι όποιες λύσεις θα πρέπει να έχουν τουλάχιστον μια μεταβλητή ίση με το μηδέν και συνεχίζουμε εύκολα από αυτό το σημείο...

Πολυμεταβλητή ισότητα

Πολυμεταβλητή ισότητα

Re: Πολυμεταβλητή ισότητα

Re: Πολυμεταβλητή ισότητα

Re: Πολυμεταβλητή ισότητα

Re: Πολυμεταβλητή ισότητα

Μέλη σε σύνδεση