Σύστημα

mick7 · #1

Να λυθεί στους πραγματικούς

$\displaystyle \begin{cases}(a+b)\cdot 5^{(b-a)}=1 & \\(a+b)^{(a-b)}=5 & \end{cases}$

Summand · #2

Γεια σας!

Θέτουμε a+b=u,a-b=w

οπότε το σύστημα γράφεται $\frac{u}{5^w}=1$ και u^w=5

Η πρώτη εξίσωση γράφεται u=5^w

Αντικαθιστώντας στη δεύτερη παίρνουμε $({5^w})^{w}=5\Leftrightarrow 5^{w^2}=5\Leftrightarrow w^2=1\Leftrightarrow w=\pm 1$

αφού η $f(x)=a^x, a>0,a\neq 1$ είναι συνάρτηση 1-1)

Αντικαθιστώντας τώρα πάλι στην πρώτη σχέση $u=5\vee u=\frac{1}{5}$ άρα έχουμε $(w,u)=(1,5),(-1,\frac{1}{5})$

Τέλος από τον τρόπο που ορίστηκαν τα u,w

έχουμε $a=\frac{u+w}{2},b=\frac{u-w}{2}$

Άρα οι δυνατές τιμές των a,b

είναι $(a,b)=(3,2),(-\frac{2}{5},\frac{3}{5})$

Φιλικά,
Γιάννης Ν.

Σταμ. Γλάρος · #3

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 28, 2019 1:56 pm
Να λυθεί στους πραγματικούς

$\displaystyle \begin{cases}(a+b)\cdot 5^{(b-a)}=1 & \\(a+b)^{(a-b)}=5 & \end{cases}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια με λογαρίθμους .
Ισχύει: a+b>0

, από την πρώτη εξίσωση.
Λογαριθμίζοντας έχουμε : $ln(a+b)+(b-a)ln5=0\Leftrightarrow (b-a)ln5=-ln(a+b)\Leftrightarrow b-a=-\dfrac{ln(a+b)}{ln5}$ (1)
Επίσης από την δεύτερη εξίσωση προκύπτει : (a-b)ln(a+b)=ln5

(2)

Αντικαθιστώντας την (1) στην (2) έχουμε : $ln^2(a+b) = ln^{2} 5$ , από όπου ισοδυνάμως προκύπτουν :
α) ln(a+b) =ln5

$\Leftrightarrow$ a+b=5

και με αντικατάσταση στην (1) έχουμε b-a=-1

.
Επομένως λύσεις : (a,b)=(3,2)

.
β)

$\Leftrightarrow$ $a+b= \dfrac{1}{5}$ και με αντικατάσταση στην (1) έχουμε b-a=1

.
Επομένως λύσεις : $(a,b)=(- \dfrac{2}{5}, \dfrac{3}{5})$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

mick7 · #4

Ευχαριστώ για τις λύσεις...

Ανδρέας Πούλος · #5

Μία λύση για επίπεδο μαθητών που δεν γνωρίζουν λογαρίθμους.
Πολλαπλασιάζουμε την 1η εξίσωση με 5 και προκύπτει η εξίσωση: $\left ( a+b \right )\cdot {5}^{b-a+1}=5$

Αυτή σε συνδυασμό με την 2η εξίσωση μας δίνει την: $\left ( a+b \right )\cdot {5}^{b-a+1}=\left ( a+b \right )^{a-b}$ .

Διαιρούμε με a+b

το οποίο δεν είναι μηδέν (προκύπτει από τα δεδομένα) και παίρνουμε

$5^{b-a+1}=\left ( \frac{1}{a+b} \right )^{b-a+1}$ .

Αυτό σημαίνει ότι a+b = 1/5

, (1).
Αυτή η σχέση με αντικατάσταση στη 2η εξίσωση του συστήματός μας, δίνει b-a =1

, (2).
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι και .
Επίσης, πρέπει να πάρουμε υπόψη ότι μπορεί να ισχύει και η περίπτωση b-a+1 = 0

,
(μου το θύμισε πρωί-πρωί ο φίλος Μιχάλης Λάμπρου να το προσθέσω, ως ειδική περίπτωση διαφορετικών βάσεων με εκθέτη μηδέν).
Τώρα με ακτικατάσταση έχουμε και τη λύση a=3, b=2

.

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση