Εξίσωση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Απάντηση
mick7
Δημοσιεύσεις: 1122
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Σάβ Σεπ 28, 2019 2:02 pm

Να λυθεί στους πραγματικούς

\displaystyle x^3+8^x-9=0


Λέξεις Κλειδιά:
Εξισωση
Κορυφή
Summand
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 05, 2019 12:10 am

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Summand » Σάβ Σεπ 28, 2019 2:17 pm

Καλησπέρα!


Παρατηρούμε ότι η x=1 είναι λύση της εξίσωσης.


Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση f(x)=x^3+8^x-9


Τώρα με τον ορισμό της 1-1 συνάρτησης ή με τη μονοτονία (f γνησίως αύξουσα) έχουμε ότι η προφανής είναι και η μοναδική λύση.


Φιλικά,
Γιάννης Ν.


Νάκος Ιωάννης, ΗΜΜΥ ΑΠΘ
Κορυφή
mick7
Δημοσιεύσεις: 1122
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Κυρ Σεπ 29, 2019 12:27 pm

Περισσότερα αλγεβρικά ...μετά από κάποιες πραξουλες που παραλείπω φτάνουμε στην

(x-1)(x^2+x+1)=(2-y)(y^2+2y+4)

οπου y=2^x

Τα δυο μέλη μηδενίζονται για

\begin{cases}x=1\\y=2\Rightarrow2^x=2\Rightarrow x=1\end{cases}


Κορυφή
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 303
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Μάρκος Βασίλης

Re: Εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Κυρ Σεπ 29, 2019 4:53 pm

mick7 έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 29, 2019 12:27 pm
 Περισσότερα αλγεβρικά ...μετά από κάποιες πραξουλες που παραλείπω φτάνουμε στην

(x-1)(x^2+x+1)=(2-y)(y^2+2y+4)

οπου y=2^x

Τα δυο μέλη μηδενίζονται για

\begin{cases}x=1\\y=2\Rightarrow2^x=2\Rightarrow x=1\end{cases}
Ναι, αλλά δεν πρέπει να εξηγήσουμε περαιτέρω γιατί εξετάζουμε μόνο τα σημεία που μηδενίζονται αμφότερες. Εννοώ, μπορεί να τέμνοντα και σε άλλα σημεία οι καμπύλες που περιγράφονται από τα δύο μέλη.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13277
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 29, 2019 6:02 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 29, 2019 4:53 pm
mick7 έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 29, 2019 12:27 pm
 Περισσότερα αλγεβρικά ...μετά από κάποιες πραξουλες που παραλείπω φτάνουμε στην

(x-1)(x^2+x+1)=(2-y)(y^2+2y+4)

οπου y=2^x

Τα δυο μέλη μηδενίζονται για

\begin{cases}x=1\\y=2\Rightarrow2^x=2\Rightarrow x=1\end{cases}
Ναι, αλλά δεν πρέπει να εξηγήσουμε περαιτέρω γιατί εξετάζουμε μόνο τα σημεία που μηδενίζονται αμφότερες. Εννοώ, μπορεί να τέμνοντα και σε άλλα σημεία οι καμπύλες που περιγράφονται από τα δύο μέλη.
Σωστά!

Πράγματι, για παράδειγμα \displaystyle x({x^2} - x + 2) = y({y^2} + y + 6)

τα δύο μέλη μηδενίζονται για x=y=0, αλλά υπάρχει και η λύση x=3, y=2.


Κορυφή
mick7
Δημοσιεύσεις: 1122
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Εξίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Σεπ 30, 2019 5:34 pm

Προφανώς έχει κενά η προσέγγιση μου όπως καταδεικνύει το παράδειγμα του george visvikis ...Δεν ξέρω αν σώζεται χωρίς την χρήση μονοτονίας...
:roll:
Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 29, 2019 4:53 pm
mick7 έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 29, 2019 12:27 pm
 Περισσότερα αλγεβρικά ...μετά από κάποιες πραξουλες που παραλείπω φτάνουμε στην

(x-1)(x^2+x+1)=(2-y)(y^2+2y+4)

οπου y=2^x

Τα δυο μέλη μηδενίζονται για

\begin{cases}x=1\\y=2\Rightarrow2^x=2\Rightarrow x=1\end{cases}
Ναι, αλλά δεν πρέπει να εξηγήσουμε περαιτέρω γιατί εξετάζουμε μόνο τα σημεία που μηδενίζονται αμφότερες. Εννοώ, μπορεί να τέμνοντα και σε άλλα σημεία οι καμπύλες που περιγράφονται από τα δύο μέλη.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1398
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Εξίσωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Δευ Σεπ 30, 2019 5:36 pm

Αυτό που μπορείς να πεις είναι ότι τα x-1 και 2-2^χ πρέπει να είναι ομόσημα, που ισχύει προφανώς μόνο όταν x=1.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες