Ανίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{x}+x^2} +\dfrac{2\sqrt{x}}{1+x^2} +\dfrac{2x^2}{\sqrt{x}+1} \geq 3$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 13, 2019 12:23 pm
Να λύσετε την ανισότητα

$\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{x}+x^2} +\dfrac{2\sqrt{x}}{1+x^2} +\dfrac{2x^2}{\sqrt{x}+1} \geq 3$ .

Όμορφη!

(Η δοσμένη, όπως είναι η εκφώνηση, είναι ανίσωση, και όχι ανισότητα.)

Προφανής περιορισμός, ο x >0

( για να ορίζεται το ριζικό πρέπει $x \geqslant 0$ , και για να μη μηδενίζεται ο παρονομαστής $x \neq 0$ ).

Θα δείξω, ότι για κάθε x >0

η ανίσωση ισχύει, οπότε λύσεις θα είναι όλα τα $x \in (0, +\infty)$ .

Έστω, $\sqrt{x}=a, x^2=b$ και αρκεί $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{a+1} \geqslant \dfrac{3}{2}$ .

Αυτή όμως ισχύει, καθώς είναι η ανισότητα Nesbitt : $\dfrac{k}{\ell+m}+\dfrac{\ell}{k+m}+\dfrac{m}{k+\ell} \geqslant \dfrac{3}{2}$ με $k=1, \ell=a, m=b$

Η ανισότητα Nesbitt, αποδεικνύεται με πολλούς τρόπους, π.χ. με την ανισότητα Cauchy-Schwarz : $\dfrac{k}{\ell+m}+\dfrac{\ell}{k+m}+\dfrac{m}{k+\ell} \geqslant \dfrac{(k+\ell+m)^2}{2(k\ell+\ell m+ mk)} \geqslant \dfrac{3}{2}$ , καθώς η τελευταία είναι ισοδύναμη με την $(k-\ell)^2+(\ell-m)^2+(m-k)^2 \geqslant 0$ .

Al.Koutsouridis · #3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 13, 2019 1:04 pm

(Η δοσμένη, όπως είναι η εκφώνηση, είναι ανίσωση, και όχι ανισότητα.)

Διορθώθηκε

.

Al.Koutsouridis · #4

έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 13, 2019 12:23 pm
Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{x}+x^2} +\dfrac{2\sqrt{x}}{1+x^2} +\dfrac{2x^2}{\sqrt{x}+1} \geq 3$ .

Για να δικαιολογήσουμε και το φάκελο ας δούμε άλλη μια λύση.

Ατνικαθιστούμε με $a=\sqrt{x}+x^2 , \quad b=1+x^2, \quad c=\sqrt{x}+1$ τους παρονομαστές των κλασμάτων της ανίσωσης. Τότε η ανίσωση γράφεται

$\displaystyle \dfrac{b+c-a}{a} +\dfrac{a+c-b}{b} + \dfrac{a+b-c}{c} \geq 3 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{a}-1 +\dfrac{a}{b} +\dfrac{c}{b}-1+ \dfrac{a}{c} +\dfrac{b}{c} -1 \geq 3 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \left ( \dfrac{b}{a} +\dfrac{a}{b} \right ) + \left ( \dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{b} \right )+ \left (\dfrac{c}{a} +\dfrac{a}{c} \right ) \geq 6 \Leftrightarrow$

Η τελευταία όμως ισχύει για όλα τα θετικά a,b,c

από απλή εφαρμογή της ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου

$\displaystyle \dfrac{b}{a} +\dfrac{a}{b} \geq 2 \sqrt{\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b}} = 2$ κτλ...

Οπότε, λαμβάνοντας υπόψη και τις επιτρεπτές τιμές του

, συμπεράνουμε ότι η ανίσωση ισχύει για όλα τα x > 0

.

Ανίσωση

Ανίσωση

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση