Ανισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1160
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Νοέμ 19, 2019 10:05 am

Για του θετικούς αριθμούς a,b και c να αποδείξετε ότι ισχύει

\displaystyle \dfrac{1+bc}{a} +\dfrac{1+ca}{b}+\dfrac{1+ab}{c} > \sqrt{a^2+2}+ \sqrt{b^2+2}+ \sqrt{c^2+2}.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Τρί Νοέμ 19, 2019 9:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3991
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Νοέμ 19, 2019 10:49 am

Η ανισότητα γράφεται 2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\right)\geq 2\left(\sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}\right)

Όμως

\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\geq 2\sqrt{\dfrac{ca}{b}\cdot \dfrac{ab}{c}}=2a και κυκλικά και οι υπόλοιπες σχέσεις. Προσθέτοντας αυτές κατά μέλη παίρνουμε

2\left(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\right) \geq 2(a+b+c)

Οπότε:

2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\right) \geq 2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+a+b+c\right)

Άρα αρκεί να δείξουμε ότι \dfrac{2}{a}+2a> 2\sqrt{a^2+2}\Leftrightarrow a^2+1 > a\sqrt{a^2+2} \Leftrightarrow a^4+2a^2+1> a^2(a^2+2) \Leftrightarrow a^4+2a^2+1> a^4+2a^2 που ισχύει.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τρί Νοέμ 19, 2019 6:35 pm

Λίγο διαφορετικά από τον Αλέξανδρο, αλλά με την ίδια ιδέα:

Με εφαρμογή της βασικής ανισότητας \displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx για \displaystyle x = ab, \displaystyle y = bc και \displaystyle z = ca, προκύπτει ότι

\displaystyle {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge abc\left( {a + b + c} \right),

άρα

\displaystyle \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} \ge a + b + c.

Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι

\displaystyle \sum\limits_{cyc} {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)}  > \sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} + 2} } .

Αλλά είναι

\displaystyle {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = {a^2} + 2 + \frac{1}{{{a^2}}} > {a^2} + 2 \Rightarrow a + \frac{1}{a} > \sqrt {{a^2} + 2}

και το ζητούμενο έπεται άμεσα.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης