Γινόμενο υπό συνθήκη

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1029
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Γινόμενο υπό συνθήκη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Ιαν 15, 2020 2:23 pm

Οι θετικοί αριθμοί x και y ικανοποιούν την σχέση

\dfrac{1}{1+x+x^2} +\dfrac{1}{1+y+y^2} +\dfrac{1}{1+x+y} =1.

Ποιές τιμές μπορεί να πάρει το γινόμενο xy; Υποδείξτε όλες τις δυνατές τιμές και αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν άλλες.


(Για Γ' Λυκείου)
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Ιαν 16, 2020 12:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1545
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Γινόμενο υπό συνθήκη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Ιαν 15, 2020 2:51 pm

Όμορφη :)

Έστω, f(y) η συνάρτηση του αριστερού μέλους ως προς y.

Τότε, είναι προφανές ότι η f(y) είναι γνησίως φθίνουσα οπότε και 1-1, και επίσης f(y)=1.

Παρατηρούμε όμως, ότι f(1/x)=1 (*), οπότε f(1/x)=f(y) \Rightarrow 1/x=y \Rightarrow xy=1, αφού f 1-1.

(*) Πράγματι, f(1/x)=\dfrac{1}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{1/x^2+1/x+1}+\dfrac{1}{x+1/x+1}=\dfrac{1}{x^2+x+1}+\dfrac{x^2}{x^2+x+1}+\dfrac{x}{x^2+x+1}=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}=1


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11807
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γινόμενο υπό συνθήκη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 15, 2020 10:07 pm

Ωραιότατη λύση.

Με έτρωγε η περιέργεια να εξηγήσω το φαινόμενο της μοναδικής τιμής του xy. Να λοιπόν:

Φέρνουμε το 1 στο αριστερό μέλος κι κάνουμε τις πράξεις. Θα βρούμε

\displaystyle{ - \dfrac {(xy-1)(x^2y+xy^2+x^2+2xy+y^2+2x+2y+2)}{(x^2+x+1)(y^2+y+1)(1+x+y)} = 0}.

Και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης