Πανίσχυρο σύστημα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πανίσχυρο σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 19, 2020 9:19 pm

Βρείτε τις πιθανές τιμές του πραγματικού αριθμού a , αν είναι γνωστό ότι

το σύστημα : \left\{\begin{matrix}
x^2+y^2 & =4\\ 
x^3+y^3 & =a
\end{matrix}\right. , έχει τρεις ακριβώς λύσεις ( στο \mathbb{R} ) .



Λέξεις Κλειδιά:
panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 141
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: Πανίσχυρο σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Πέμ Φεβ 20, 2020 6:24 am

a\epsilon (-8,8).


'Ο Αϊνστάιν είπε πως ο θεός δεν παίζει ζάρια. Εγώ δεν πιστεύω μόνο ότι παίζει αλλά ότι δεν ξέρει και που τα ρίχνει'.
Στίβεν Χόκινγκ
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πανίσχυρο σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 20, 2020 10:42 am

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Πέμ Φεβ 20, 2020 6:24 am
a\epsilon (-8,8).
Για a=0
υπάρχουν δύο λύσεις .
Οι (\sqrt{2},-\sqrt{2}),(-\sqrt{2},\sqrt{2})


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πανίσχυρο σύστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 20, 2020 10:51 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 19, 2020 9:19 pm
Βρείτε τις πιθανές τιμές του πραγματικού αριθμού a , αν είναι γνωστό ότι

το σύστημα : \left\{\begin{matrix} 
x^2+y^2 & =4\\  
x^3+y^3 & =a 
\end{matrix}\right. , έχει τρεις ακριβώς λύσεις ( στο \mathbb{R} ) .
1)Εχεις λύση;
2)Τι σημαίνει
KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 19, 2020 9:19 pm
Βρείτε τις πιθανές τιμές του πραγματικού αριθμού a


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9327
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πανίσχυρο σύστημα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 20, 2020 2:06 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 19, 2020 9:19 pm
Βρείτε τις πιθανές τιμές του πραγματικού αριθμού a , αν είναι γνωστό ότι

το σύστημα : \left\{\begin{matrix} 
x^2+y^2 & =4\\  
x^3+y^3 & =a 
\end{matrix}\right. , έχει τρεις ακριβώς λύσεις ( στο \mathbb{R} ) .
Θέτω x+y=S, xy=P και παίρνω το σύστημα: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{S^2} - 2P = 4\\ 
S(4 - P) = a 
\end{array} \right. και ύστερα την εξίσωση

\displaystyle {S^3} - 12S + 2a = 0 που έχει τρεις πραγματικές λύσεις όταν -8<a<8.

Στη συνέχεια γίνεται διερεύνηση στο αρχικό σύστημα, που τη βρίσκω αρκετά επίπονη.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Φεβ 20, 2020 5:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8444
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πανίσχυρο σύστημα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Φεβ 20, 2020 3:29 pm

Ως λύση καταλαβαίνω το ζεύγος (x,y) που ικανοποιεί το σύστημα.

Ας παρατηρήσουμε ότι αν η (x,y) είναι λύση, τότε και η (y,x) είναι λύση. Για να έχω λοιπόν τρεις ακριβώς λύσεις, πρέπει να έχω και μια λύση της μορφής (t,t) για κάποιο t \in \mathbb{R} αφού σε διαφορετική περίπτωση θα έχω άρτιο πλήθος λύσεων.

Αν (t,t) λύση, τότε 2t^2 = 4 που δίνει t = \pm \sqrt{2}. Επίσης παίρνουμε και a = 2t^3 = \pm 4\sqrt{2}, δηλαδή a = \pm 4\sqrt{2}.

Για a = 4\sqrt{2}, θέτοντας s = x+y,p=xy καταλήγω όπως ο Γιώργος στο s^3 - 12s+8\sqrt{2} = 0 και γνωρίζονττας ότι μια ρίζα είναι η s = 2\sqrt{2} το παραγοντοποιώ ως (s-2\sqrt{2})(s^2+2\sqrt{2}s-4)=0 που έχει ρίζες τα s = 2\sqrt{2},-\sqrt{2}+\sqrt{6} και -\sqrt{2}-\sqrt{6}. Ισχύει επίσης ότι p=s^2/2-2 που δίνει p=2,2-2\sqrt{3} και 2+2\sqrt{3} αντίστοιχα.

Αν s=2\sqrt{2},p=2 παίρνουμε μοναδική λύση την (\sqrt{2},\sqrt{2}).

Αν s = -\sqrt{2} + \sqrt{6}, p = 2-2\sqrt{3} τότε η διακρίνουσα είναι s^2 - 4p = (2p+4)-4p = 2(2-p) > 0 που δίνει δύο ζεύγη λύσεων.

Αν s = -\sqrt{2} - \sqrt{6}, p = 2+2\sqrt{3} τότε η διακρίνουσα είναι s^2 - 4p = (2p+4)-4p = 2(2-p) < 0 που δεν δίνει άλλες λύσεις.

Άρα για a = 4\sqrt{2} έχουμε ακριβώς 3 λύσεις. Για a=-4\sqrt{2} επίσης έχουμε τρεις λύσεις αφού η (x,y) είναι λύση για a=4\sqrt{2} αν και μόνο αν η (-x,-y) είναι λύση για a=-4\sqrt{2}.

Άρα οι μόνες τιμές του a για τις οποίες έχουμε τρία ζεύγη λύσεων είναι οι a = \pm 4\sqrt{2}.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1137
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Πανίσχυρο σύστημα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Φεβ 20, 2020 4:05 pm

Ένας άλλος τρόπος, αν και μπελαλίδικος νομίζω βγαίνει, είναι να κάνουμε την αντικατάσταση x=2 \sin t, y=2 \cos t. Τότε η δεύτερη εξίσωση γίνεται

\sin^3 t + \cos^3 t= \dfrac{a}{8}

Αναγόμαστε λοιπόν στην μελέτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησηςf(t)= \sin^3 t + \cos^3 t. Είναι f^{\prime}(t)=  3 \sin t \cos t (\ sin t - \cos t)

Οπότε μπορούμε "εύκολα" να κάνουμε τον πίνακα μονοτονίας και την γραφική παράσταση.

system.PNG
system.PNG (12.25 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές

Από την γραφική παράσταση εξάγουμε τις δυο τιμές του a (τοπικά ακρότατα) που μας δίνους τρεις λύσεις (ζευγη).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης