Πανίσχυρο σύστημα

KARKAR · #1

Βρείτε τις πιθανές τιμές του πραγματικού αριθμού

, αν είναι γνωστό ότι

το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2 & =4\\ x^3+y^3 & =a \end{matrix}\right.$ , έχει τρεις ακριβώς λύσεις ( στο $\mathbb{R}$ ) .

panagiotis iliopoulos · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

panagiotis iliopoulos έγραψε: Πέμ Φεβ 20, 2020 6:24 am $a\epsilon (-8,8)$ .

Για

υπάρχουν δύο λύσεις .
Οι $(\sqrt{2},-\sqrt{2}),(-\sqrt{2},\sqrt{2})$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 19, 2020 9:19 pm Βρείτε τις πιθανές τιμές του πραγματικού αριθμού , αν είναι γνωστό ότι

το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2 & =4\\ x^3+y^3 & =a \end{matrix}\right.$ , έχει τρεις ακριβώς λύσεις ( στο $\mathbb{R}$ ) .

1)Εχεις λύση;
2)Τι σημαίνει

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 19, 2020 9:19 pm Βρείτε τις πιθανές τιμές του πραγματικού αριθμού

#5

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 19, 2020 9:19 pm Βρείτε τις πιθανές τιμές του πραγματικού αριθμού , αν είναι γνωστό ότι

το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2 & =4\\ x^3+y^3 & =a \end{matrix}\right.$ , έχει τρεις ακριβώς λύσεις ( στο $\mathbb{R}$ ) .

Θέτω

και παίρνω το σύστημα: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {S^2} - 2P = 4\\ S(4 - P) = a \end{array} \right.$ και ύστερα την εξίσωση

$\displaystyle {S^3} - 12S + 2a = 0$ που έχει τρεις πραγματικές λύσεις όταν -8<a<8.

Στη συνέχεια γίνεται διερεύνηση στο αρχικό σύστημα, που τη βρίσκω αρκετά επίπονη.

#6

Ως λύση καταλαβαίνω το ζεύγος (x,y)

που ικανοποιεί το σύστημα.

Ας παρατηρήσουμε ότι αν η (x,y)

είναι λύση, τότε και η (y,x)

είναι λύση. Για να έχω λοιπόν τρεις ακριβώς λύσεις, πρέπει να έχω και μια λύση της μορφής (t,t)

για κάποιο $t \in \mathbb{R}$ αφού σε διαφορετική περίπτωση θα έχω άρτιο πλήθος λύσεων.

Αν (t,t)

λύση, τότε 2t^2 = 4

που δίνει $t = \pm \sqrt{2}$ . Επίσης παίρνουμε και $a = 2t^3 = \pm 4\sqrt{2}$ , δηλαδή $a = \pm 4\sqrt{2}$ .

Για $a = 4\sqrt{2}$ , θέτοντας s = x+y,p=xy

καταλήγω όπως ο Γιώργος στο $s^3 - 12s+8\sqrt{2} = 0$ και γνωρίζονττας ότι μια ρίζα είναι η $s = 2\sqrt{2}$ το παραγοντοποιώ ως $(s-2\sqrt{2})(s^2+2\sqrt{2}s-4)=0$ που έχει ρίζες τα $s = 2\sqrt{2},-\sqrt{2}+\sqrt{6}$ και $-\sqrt{2}-\sqrt{6}$ . Ισχύει επίσης ότι p=s^2/2-2

που δίνει $p=2,2-2\sqrt{3}$ και $2+2\sqrt{3}$ αντίστοιχα.

Αν $s=2\sqrt{2},p=2$ παίρνουμε μοναδική λύση την $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ .

Αν $s = -\sqrt{2} + \sqrt{6}, p = 2-2\sqrt{3}$ τότε η διακρίνουσα είναι s^2 - 4p = (2p+4)-4p = 2(2-p) > 0

που δίνει δύο ζεύγη λύσεων.

Αν $s = -\sqrt{2} - \sqrt{6}, p = 2+2\sqrt{3}$ τότε η διακρίνουσα είναι s^2 - 4p = (2p+4)-4p = 2(2-p) < 0

που δεν δίνει άλλες λύσεις.

Άρα για $a = 4\sqrt{2}$ έχουμε ακριβώς

λύσεις. Για $a=-4\sqrt{2}$ επίσης έχουμε τρεις λύσεις αφού η (x,y)

είναι λύση για $a=4\sqrt{2}$ αν και μόνο αν η (-x,-y)

είναι λύση για $a=-4\sqrt{2}$ .

Άρα οι μόνες τιμές του

για τις οποίες έχουμε τρία ζεύγη λύσεων είναι οι $a = \pm 4\sqrt{2}$ .

Al.Koutsouridis · #7

Ένας άλλος τρόπος, αν και μπελαλίδικος νομίζω βγαίνει, είναι να κάνουμε την αντικατάσταση $x=2 \sin t, y=2 \cos t$ . Τότε η δεύτερη εξίσωση γίνεται

$\sin^3 t + \cos^3 t= \dfrac{a}{8}$

Αναγόμαστε λοιπόν στην μελέτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(t)= \sin^3 t + \cos^3 t$ . Είναι $f^{\prime}(t)= 3 \sin t \cos t (\ sin t - \cos t)$

Οπότε μπορούμε "εύκολα" να κάνουμε τον πίνακα μονοτονίας και την γραφική παράσταση.

: system.PNG (12.25 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές

Από την γραφική παράσταση εξάγουμε τις δυο τιμές του

(τοπικά ακρότατα) που μας δίνους τρεις λύσεις (ζευγη).

Πανίσχυρο σύστημα

Πανίσχυρο σύστημα

Re: Πανίσχυρο σύστημα

Re: Πανίσχυρο σύστημα

Re: Πανίσχυρο σύστημα

Re: Πανίσχυρο σύστημα

Re: Πανίσχυρο σύστημα

Re: Πανίσχυρο σύστημα

Μέλη σε σύνδεση