Σύστημα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9366
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 11, 2020 7:35 pm

Να λύσετε στο \mathbb{R} το σύστημα:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^3-3x=4-y & \\ y^3-3y=8-3z & \\ z^3-3z=10-4x &\end{matrix}\right.}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1620
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Μάιος 11, 2020 11:03 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Μάιος 11, 2020 7:35 pm
Να λύσετε στο \mathbb{R} το σύστημα:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^3-3x=4-y & \\ y^3-3y=8-3z & \\ z^3-3z=10-4x &\end{matrix}\right.}
Καλησπέρα κ.Γιώργο!

Όμορφη! :)

Γράφουμε τις τρεις δοσμένες σχέσεις ως:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (x-2)(x+1)^2=2-y & \\ (y-2)(y+1)^2=3(2-z) & \\ (z-2)(z+1)^2=4(2-x) &\end{matrix}\right.}.

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη, οπότε προκύπτει ότι (x-2)(y-2)(z-2)((x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2)=-12(x-2)(y-2)(z-2), συνεπώς (x-2)(y-2)(z-2)((x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2+12)=0.

Άρα, ένας εκ των x,y,z είναι ίσος με 2. Είναι άμεσο όμως να δούμε ότι, αν κάποιος από τους x,y,z είναι ίσος με 2, τότε x=y=z=2.
Οπότε, προκύπτει ως μοναδική λύση η (x,y,z)=(2,2,2).


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9366
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 12, 2020 8:29 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Δευ Μάιος 11, 2020 11:03 pm
george visvikis έγραψε:
Δευ Μάιος 11, 2020 7:35 pm
Να λύσετε στο \mathbb{R} το σύστημα:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^3-3x=4-y & \\ y^3-3y=8-3z & \\ z^3-3z=10-4x &\end{matrix}\right.}
Καλησπέρα κ.Γιώργο!

Όμορφη! :)

Γράφουμε τις τρεις δοσμένες σχέσεις ως:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (x-2)(x+1)^2=2-y & \\ (y-2)(y+1)^2=3(2-z) & \\ (z-2)(z+1)^2=4(2-x) &\end{matrix}\right.}.

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη, οπότε προκύπτει ότι (x-2)(y-2)(z-2)((x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2)=-12(x-2)(y-2)(z-2), συνεπώς (x-2)(y-2)(z-2)((x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2+12)=0.

Άρα, ένας εκ των x,y,z είναι ίσος με 2. Είναι άμεσο όμως να δούμε ότι, αν κάποιος από τους x,y,z είναι ίσος με 2, τότε x=y=z=2.
Οπότε, προκύπτει ως μοναδική λύση η (x,y,z)=(2,2,2).

Πολύ ωραία Ορέστη :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης