Κλασματική εξίσωση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κλασματική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιουν 01, 2020 10:35 am

Να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle \frac{{{x^2} + 3x + 8}}{{{x^2} - 3x + 8}} + \frac{{{x^2} - 3x + 8}}{{{x^2} + 3x + 8}} = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} - 2x + 4}} + \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} + 2x + 4}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 780
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Κλασματική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Ιουν 01, 2020 11:23 am

george visvikis έγραψε:
Δευ Ιουν 01, 2020 10:35 am
Να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle \frac{{{x^2} + 3x + 8}}{{{x^2} - 3x + 8}} + \frac{{{x^2} - 3x + 8}}{{{x^2} + 3x + 8}} = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} - 2x + 4}} + \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} + 2x + 4}}
Καλημέρα!
Αφαιρούμε από κάθε όρο το 1 οπότε εξακολουθεί να ισχύει η ισότητα και \rm \dfrac{x^2+3x+8}{x^2-3x+8}-1=\dfrac{6x}{x^2-3x+8} και ομοίως οι υπόλοιποι όροι οπότε η αρχική γράφεται:
\rm \dfrac{6x}{x^2-3x+8}-\dfrac{6x}{x^2+3x+8}=\dfrac{4x}{x^2-2x+4}-\dfrac{4x}{x^2+2x+4}.
Για \rm x=0 δεν μηδενίζεται κάποιος παρονομαστής οπότε λύση της εξίσωσης και τώρα γράφεται:
\rm \dfrac{3}{x^2-3x+8}-\dfrac{2}{x^2-2x+4}=\dfrac{3}{x^2+3x+8}-\dfrac{2}{x^2+2x+4} \Leftrightarrow

\rm \Leftrightarrow \dfrac{3x^2-6x+12-2x^2+6x-16}{\left ( x^2-3x+8 \right )\left ( x^2-2x+4 \right )}=\dfrac{3x^2+6x+12-2x^2-6x-16}{\left ( x^2+3x+8 \right )\left (x^2+2x+4  \right )}

\rm \Leftrightarrow \dfrac{x^2-4}{(x^2-3x+8)\left ( x^2-2x+4 \right )}= \dfrac{x^2-4}{(x^2+3x+8)\left ( x^2+2x+4 \right )}
Για \rm x=\pm 2 δεν μηδενίζεται κάποιος παρονομαστής άρα \rm x=\pm 2 λύση της εξίσωσης και τώρα:
\rm (x^2-3x+8)\left ( x^2-2x+4 \right )=(x^2+3x+8)\left ( x^2+2x+4 \right )\Leftrightarrow \dfrac{(x^2-3x+8)}{(x^2+3x+8)}=\dfrac{\left ( x^2+2x+4 \right )}{\left ( x^2-2x+4 \right )}
Στην παραπάνω αφαιρούμε 1 από κάθε μέλος και γίνεται
\rm \dfrac{-6x}{x^2+3x+8}=\dfrac{4x}{x^2-2x+4} η οποία έχει λύση \rm x=0 και για \rm x\neq 0 γράφεται (απλοποιώ με το 2)
\rm -3x^2+6x-12=2x^2+6x+16 \Leftrightarrow 5x^2=-28 \Leftrightarrow x=\pm 2i\sqrt{\dfrac{7}{5}}(μιας και δεν δόθηκε περιορισμός \rm x \in \mathbb{R} )

Λύσεις λοιπόν οι \rm x=0 (διπλή),\rm x=\pm 2 και οι \rm x=\pm 2i\sqrt{\dfrac{7}{5}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7427
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κλασματική εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιουν 01, 2020 1:18 pm

Πολύ ωραία ο Πρόδρομος :clap2:

Μια παρεμφερή, Θέτω : a = {x^2} - 3x + 8 > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = {x^2} - 2x + 4 και η εξίσωση γράφεται :

\dfrac{{a + 6x}}{a} + \dfrac{a}{{a + 6x}} - \dfrac{{b + 4x}}{b} - \dfrac{b}{{b + 4x}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{6x}}{a} - \dfrac{{4x}}{b} + \dfrac{a}{{a + 6x}} - \dfrac{b}{{b + 4x}} = 0 ή

\left( {2a - 3b} \right)x\left( {\dfrac{1}{{ab}} - \dfrac{1}{{\left( {a + 6x} \right)\left( {b + 4x} \right)}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = 0 \hfill \\ 
  2a - 3b = 0 \hfill \\ 
  \left( {a + 6x} \right)\left( {b + 4x} \right) - ab = 0 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = 0 \hfill \\ 
  {x^2} - 4 = 0 \hfill \\ 
  x\left( {5{x^2} + 28} \right) = 0 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Τα υπόλοιπα απλά .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κλασματική εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 03, 2020 9:46 am

Αλλιώς, θέτω \displaystyle \frac{{{x^2} + 3x + 8}}{{{x^2} - 3x + 8}} = a,\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} - 2x + 4}} = b και η δοσμένη εξίσωση γράφεται:

\displaystyle a + \frac{1}{a} = b + \frac{1}{b} \Leftrightarrow a = b ή \displaystyle a = \frac{1}{b}

\displaystyle a = b \Leftrightarrow 1 + \frac{{6x}}{{{x^2} - 3x + 8}} = 1 + \frac{{4x}}{{{x^2} - 2x + 4}} \Leftrightarrow \boxed{x=-2} ή \boxed{x=0} ή \boxed{x=2}

Ομοίως για \displaystyle a = \frac{1}{b} \Leftrightarrow \boxed{x=0} ή \displaystyle 5{x^2} + 28 = 0 που δεν έχει πραγματικές ρίζες.


Σημείωση: Ο Πρόδρομος καλά έκανε που, για λόγους πληρότητας, συμπεριέλαβε στις ρίζες και τις δύο φανταστικές.
Επειδή όμως οι μιγαδικοί έχουν αφαιρεθεί από την ύλη της Γ Λυκείου και ο φάκελος είναι Θαλής-Ευκλείδης, μπορούμε
να τις απορρίψουμε. Το πιο σωστό βέβαια, θα ήταν να γράψω "Να λυθεί στο \mathbb{R} η εξίσωση..."


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης