Έρχονται 40άρια

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11776
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Έρχονται 40άρια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιούλ 26, 2020 10:15 am

Στο θέμα αυτό , χρησιμοποιήσαμε τα : \cos40^0 , \cos80^0 . Ας "σκάψουμε" λίγο στην περιοχή του θέματος :

Έστω λοιπόν η εξίσωση : 8x^3-6x+1=0 . Δείξτε ότι για κάθε ρίζα r της εξίσωσης αυτής , ισχύει : |r|<1 .

Λύστε την περίφημη αυτή εξίσωση . Ενδέχεται να έχει ξανατεθεί το θέμα , γι αυτό μην δώσετε ( ακόμη ) παραπομπή .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Έρχονται 40άρια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 26, 2020 10:55 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιούλ 26, 2020 10:15 am
Στο θέμα αυτό , χρησιμοποιήσαμε τα : \cos40^0 , \cos80^0 . Ας "σκάψουμε" λίγο στην περιοχή του θέματος :

Έστω λοιπόν η εξίσωση : 8x^3-6x+1=0 . Δείξτε ότι για κάθε ρίζα r της εξίσωσης αυτής , ισχύει : |r|<1 .

Λύστε την περίφημη αυτή εξίσωση . Ενδέχεται να έχει ξανατεθεί το θέμα , γι αυτό μην δώσετε ( ακόμη ) παραπομπή .
Θανάση, δεν ξέρω που ακριβώς έχουμε δει στο εδώ φόρουμ την τριγωνομετρική λύση τριτοβάθμιας, πάντως την έχουμε δει πολλές φορές. Αυτό που θέλω να επισημάνω είναι ότι η μέθοδος αυτή είναι στάνταρ, χιλιοειπωμένη, και ονομάζεται Μέθοδος Vieta. Υπάρχει σε όλα ανεξαιρέτως τα βιβλία που περιέχουν Θεωρία Πολυωνύμων (αυτοτελή ή ως κεφάλαιο εντός βιβλίου Άλγεβρας) και διδάσκεται ευρύτατα (αλλά δυστυχώς όχι πια στα κουτσουρεμένα Μαθηματικά που διδάσκουμε στους μαθητές μας).

Βλέπε π.χ. στην Wikipedia εδώ, στο σημείο που τιτλοφορείται Trigonometric solution for three real roots.

Με την ευκαιρία, θα συνιστούσα σε όλους να διαβάσουν το κορυφαίο βιβλίο In artem analyticem isagoge (1591) του Vieta (1540 – 1603), όπου περιέχεται η εν λόγω μέθοδος. Σκέτη απόλαυση.

(Ας γράψω το πρώτο βήμα, για να κλείνει το θέμα: Για |r|\ge 1 έχουμε \displaystyle{|8r^3|\ge |8r|> |6r|+|r|\ge |6r|+1 \ge |6r-1|},οπότε δεν γίνεται να ισχύει 8r^3=6r-1. Ας συνεχίσουν από εδώ οι μαθητές μας που δεν έχουν δει την τριγωνομέτρική επίλυση τριτοβάθμιας).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9695
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Έρχονται 40άρια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιούλ 26, 2020 2:12 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιούλ 26, 2020 10:15 am
Στο θέμα αυτό , χρησιμοποιήσαμε τα : \cos40^0 , \cos80^0 . Ας "σκάψουμε" λίγο στην περιοχή του θέματος :

Έστω λοιπόν η εξίσωση : 8x^3-6x+1=0 . Δείξτε ότι για κάθε ρίζα r της εξίσωσης αυτής , ισχύει : |r|<1 .

Λύστε την περίφημη αυτή εξίσωση . Ενδέχεται να έχει ξανατεθεί το θέμα , γι αυτό μην δώσετε ( ακόμη ) παραπομπή .
Οι ρίζες είναι \displaystyle \cos 40^\circ ,\cos 80^\circ ,\cos 160^\circ. (Δεν θα χρησιμοποιήσω τη γνωστή μέθοδο στην οποία αναφέρεται ο Μιχάλης).
Έρχονται 40άρια.png
Έρχονται 40άρια.png (9.25 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές
Από νόμο συνημιτόνων αλλά και από τη σχέση \widehat B=2\widehat C έχουμε:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos 80^\circ \\ 
{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos 40^\circ \\ 
{b^2} - {c^2} = ac 
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
a = c\cos 80^\circ  + b\cos 40^\circ \\ 
c = b\cos 40^\circ  - c\cos 80^\circ \\ 
b = 2c\cos 40^\circ  
\end{array} \right.

Αλλά, \displaystyle {a^2} = {b^2} + {c^2} - bc και αν θέσω 1) \displaystyle \cos 40^\circ  = x τότε \displaystyle \cos 80^\circ  = 2{x^2} - 1 και καταλήγω

στην εξίσωση \displaystyle 8{x^3} - 6x + 1 = 0. Άρα \boxed{ \cos 40^\circ} είναι ρίζα της ζητούμενης εξίσωσης.

2) \displaystyle \cos 80^\circ  = t τότε \displaystyle \cos 40^\circ  = \sqrt {\frac{{1 + t}}{2}}, οπότε καταλήγω στην εξίσωση \displaystyle 8{t^4} + 8{t^3} - 6{t^2} - 5t + 1 = 0,

απ' όπου \displaystyle (8{t^4} - 6{t^2} + t) + (8{t^3} - 6t + 1) = 0 \Leftrightarrow (t + 1)(8{t^3} - 6t + 1) = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{t > 0} \displaystyle 8{t^3} - 6t + 1=0

Άρα και \boxed{ \cos 80^\circ} είναι ρίζα της ζητούμενης εξίσωσης. Επειδή όμως ο συντελεστής του x^2 είναι μηδέν, το άθροισμα των

ριζών θα είναι μηδέν. Έτσι αν r είναι η τρίτη ρίζα, τότε:

\displaystyle \cos 40^\circ  + \cos 80^\circ  + r = 0 \Leftrightarrow 2\cos 60^\circ \cos 20^\circ  + r = 0 \Leftrightarrow \boxed{r = \cos 160^\circ}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11776
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Έρχονται 40άρια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιούλ 27, 2020 12:43 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιούλ 26, 2020 10:15 am

Έστω η εξίσωση : 8x^3-6x+1=0 . Δείξτε ότι για κάθε ρίζα r της εξίσωσης αυτής , ισχύει : |r|<1 .

Στη συνέχεια λύστε την περίφημη αυτή εξίσωση .

Η εξίσωση γράφεται : 4x^3-3x=-\dfrac{1}{2} . Θέτοντας : x=cost , γίνεται : 4cos^3t-3cost=-\dfrac{1}{2}

ή : cos(3t)=cos(120^0) , οπότε : t=40^0 , t=80^0 , t=160^0 .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Έρχονται 40άρια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 27, 2020 1:04 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιούλ 27, 2020 12:43 pm
Η εξίσωση γράφεται : 4x^3-3x=-\dfrac{1}{2} . Θέτοντας : x=cost , γίνεται : 4cos^3t-3cost=-\dfrac{1}{2}

ή : cos(3t)=cos(120^0) , οπότε : t=40^0 , t=80^0 , t=160^0 .
Σωστά, αλλά ας επισημάνω ότι αυτή ακριβώς είναι η στάνταρ μέθοδος που ανέφερα πιο πάνω.

Επίσης αξίζει να προσθέσω ότι αν αντί για -\dfrac{1}{2} στο δεξί μέλος είχαμε +\dfrac{1}{2}, τότε η εξίσωση είναι το στάνταρ παράδειγμα που υπάρχει σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Galois στο σημείο που δείχνουν το αδύνατον της τριχοτόμησης με κανόνα και διαβήτη της γωνίας 60^o (όλοι έχουν το ίδιο!).


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11776
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Έρχονται 40άρια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιούλ 27, 2020 1:18 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Ιούλ 27, 2020 1:04 pm

Σωστά, αλλά ας επισημάνω ότι αυτή ακριβώς είναι η στάνταρ μέθοδος που ανέφερα πιο πάνω.

Επίσης αξίζει να προσθέσω ότι αν αντί για -\dfrac{1}{2} στο δεξί μέλος είχαμε +\dfrac{1}{2} ...
Σωστά αλλά την έκανα ορατή ... Για το δεύτερο βλέπε και εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης