Παράλληλη χορδή

KARKAR · #1

: Παράλληλη χορδή.png (10.77 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Από σημείο

της προέκτασης της διαμέτρου

ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και την διχοτόμο της $\widehat{TSA}$ , η οποία τέμνει το τόξο σε δύο σημεία και ονομάζω

το πλησιέστερο στο

.

Αν

και $PT \parallel AB$ , υπολογίστε το ακριβές μήκος της χορδής

. Σημαντική σημείωση :

Είναι κυρίως άσκηση Άλγεβρας , γι' αυτό στην λύση σας να φαίνεται η υπερπήδηση των αλγεβρικών εμποδίων

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 28, 2020 9:12 pm Παράλληλη χορδή.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και την διχοτόμο της $\widehat{TSA}$ , η οποία τέμνει το τόξο σε δύο σημεία και ονομάζω το πλησιέστερο στο .

Αν και $PT \parallel AB$ , υπολογίστε το ακριβές μήκος της χορδής . Σημαντική σημείωση :

Είναι κυρίως άσκηση Άλγεβρας , γι' αυτό στην λύση σας να φαίνεται η υπερπήδηση των αλγεβρικών εμποδίων

Έστω

η προβολή του

στην

Τότε $EB = \dfrac{{8 - d}}{2}$ και $TE = \dfrac{{64 - {d^2}}}{4}$

: Παράλληλη χορδή.png (15.37 KiB) Προβλήθηκε 923 φορές

$\displaystyle {d^2} = x(x + 8) \Leftrightarrow {x^2} + 8x - {d^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x = \sqrt {{d^2} + 16} - 4}$ (1)

και με Π. Θ στο TES:

$\displaystyle {\left( {\frac{{8 - d}}{2} + x} \right)^2} = {d^2} - \frac{{64 - {d^2}}}{4}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} {\left( {8 - d + 2\sqrt {{d^2} + 16} - 8} \right)^2} = 5{d^2} - 64 \Leftrightarrow$

$\displaystyle 4{d^2} + 64 + {d^2} - 4d\sqrt {{d^2} + 16} = 5{d^2} - 64 \Leftrightarrow d\sqrt {{d^2} + 16} = 32 \Leftrightarrow {d^4} + 16{d^2} - 1024 = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle {d^2} = 8(\sqrt {17} - 1) \Leftrightarrow$ $\boxed{d = 2\sqrt {2\left( {\sqrt {17} - 1} \right)}}$ (πολύ κοντά στο

)

Filippos Athos · #3

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 28, 2020 9:12 pm Παράλληλη χορδή.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και την διχοτόμο της $\widehat{TSA}$ , η οποία τέμνει το τόξο σε δύο σημεία και ονομάζω το πλησιέστερο στο .

Αν και $PT \parallel AB$ , υπολογίστε το ακριβές μήκος της χορδής . Σημαντική σημείωση :

Είναι κυρίως άσκηση Άλγεβρας , γι' αυτό στην λύση σας να φαίνεται η υπερπήδηση των αλγεβρικών εμποδίων

: geogebra-export,parallili xordi .png (200.61 KiB) Προβλήθηκε 915 φορές

Αν

το μέσο του

τότε

μισό του

Τα επόμενα συμπεράσματα βγαίνουν με Πυθαγόριο στα τρίγωνα MTE,MTS

,

$TE^{2}=16-a^{2}$

$ES^{2}=(MS-ME)^{2}=(\sqrt{16+4a^{2}}-a)^{2}$

$TE^{2}+ES^{2}=4a^{2}\Rightarrow 16-a^{2}+(\sqrt{16+4a^{2}}-a)^{2}$ $=4a^{2}$

$16-a^{2}+16+4a^{2}-2a\sqrt{16+4a^{2}}+a^{2}=4a^{2}\Rightarrow 32=2a\sqrt{16+4a^{2}}\Rightarrow 16=a\sqrt{16+4a^{2}}$
Υψώνωντας στην δευτέρα $256=a^{2}(16+4a^{2})\Rightarrow 64=a^{2}(4+a^{2})=4a^{2}+a^{4}\Rightarrow 4a^{2}+a^{4}-64=0$

Από εδω βρίσκουμε εύκολα

$\sqrt{2(\sqrt{17}-1)}$
Άρα 2a=

$2\sqrt{2(\sqrt{17}-1)}$

#4

Κάτι παρόμοιο με το μικρό από τη Λεμεσό .

: Παράλληλη χορδή_1.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 873 φορές

Αφού

και η

διχοτόμος , το $\vartriangle TPS$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

.

Ας είναι,

το μέσο του

,

η προβολή του

στην

και

το κέντρο του ημικυκλίου. Θέτω OK = x

και άρα

Από το Θ του Ευκλείδη στο $\vartriangle TOS$ έχω :

$O{T^2} = OK \cdot OS \Rightarrow 16 = x\sqrt {16 + 4{x^2}} \Rightarrow {16^2} = {x^2}\left( {16 + 4{x^2}} \right)$ . Αν ${x^2} = y$ έχω:

${y^2} + 4y - 64 = 0\,,y > 0 \Rightarrow y = 2\left( {\sqrt {17} - 1} \right)$ οπότε : $\boxed{x = \sqrt y = \sqrt {2\left( {\sqrt {17} - 1} \right)} }$

Έχει ενδιαφέρον ο γεωμετρικός προσδιορισμός π.χ. του , πριν τον πλήρη υπολογισμό της χορδής .

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 28, 2020 9:12 pm Παράλληλη χορδή.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και την διχοτόμο της $\widehat{TSA}$ , η οποία τέμνει το τόξο σε δύο σημεία και ονομάζω το πλησιέστερο στο .

Αν και $PT \parallel AB$ , υπολογίστε το ακριβές μήκος της χορδής . Σημαντική σημείωση :

Είναι κυρίως άσκηση Άλγεβρας , γι' αυτό στην λύση σας να φαίνεται η υπερπήδηση των αλγεβρικών εμποδίων

: Παράλληλη χορδή και διχοτόμος κατασκευή.png (21.51 KiB) Προβλήθηκε 818 φορές

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {AOB} = 2R$ . Έξω απ αυτό γράφω νέο ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {ALO}$ και «υψώνω» κάθετη, AD = 2R

,στο

επί την

.

Η

τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο

. Ας είναι

το μέσο του

.

Γράφω νέο ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {DMN}$ . Η κάθετη στο

επί την διάμετρο

τέμνει αυτό το τρίτο ημικύκλιο στο

,

Ο κύκλος : $\left( {O,FG} \right)$ τέμνει την

στο

που είναι η προβολή του ζητουμένου

.

Παράλληλη χορδή

Παράλληλη χορδή

Re: Παράλληλη χορδή

Re: Παράλληλη χορδή

Re: Παράλληλη χορδή

Re: Παράλληλη χορδή

Μέλη σε σύνδεση