Παράλληλη χορδή

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11662
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παράλληλη χορδή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιούλ 28, 2020 9:12 pm

Παράλληλη  χορδή.png
Παράλληλη χορδή.png (10.77 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές
Από σημείο S της προέκτασης της διαμέτρου AB ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ST

και την διχοτόμο της \widehat{TSA} , η οποία τέμνει το τόξο σε δύο σημεία και ονομάζω P το πλησιέστερο στο A .

Αν AB=8 και PT \parallel AB , υπολογίστε το ακριβές μήκος της χορδής PT . Σημαντική σημείωση :

Είναι κυρίως άσκηση Άλγεβρας , γι' αυτό στην λύση σας να φαίνεται η υπερπήδηση των αλγεβρικών εμποδίων :-|



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παράλληλη χορδή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 29, 2020 9:48 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιούλ 28, 2020 9:12 pm
Παράλληλη χορδή.pngΑπό σημείο S της προέκτασης της διαμέτρου AB ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ST

και την διχοτόμο της \widehat{TSA} , η οποία τέμνει το τόξο σε δύο σημεία και ονομάζω P το πλησιέστερο στο A .

Αν AB=8 και PT \parallel AB , υπολογίστε το ακριβές μήκος της χορδής PT . Σημαντική σημείωση :

Είναι κυρίως άσκηση Άλγεβρας , γι' αυτό στην λύση σας να φαίνεται η υπερπήδηση των αλγεβρικών εμποδίων :-|
Έστω E η προβολή του T στην AB. Τότε EB = \dfrac{{8 - d}}{2} και TE = \dfrac{{64 - {d^2}}}{4}
Παράλληλη χορδή.png
Παράλληλη χορδή.png (15.37 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές
\displaystyle {d^2} = x(x + 8) \Leftrightarrow {x^2} + 8x - {d^2} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0} \boxed{x = \sqrt {{d^2} + 16}  - 4} (1) και με Π. Θ στο TES:

\displaystyle {\left( {\frac{{8 - d}}{2} + x} \right)^2} = {d^2} - \frac{{64 - {d^2}}}{4}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} {\left( {8 - d + 2\sqrt {{d^2} + 16}  - 8} \right)^2} = 5{d^2} - 64 \Leftrightarrow

\displaystyle 4{d^2} + 64 + {d^2} - 4d\sqrt {{d^2} + 16}  = 5{d^2} - 64 \Leftrightarrow d\sqrt {{d^2} + 16}  = 32 \Leftrightarrow {d^4} + 16{d^2} - 1024 = 0 \Leftrightarrow

\displaystyle {d^2} = 8(\sqrt {17}  - 1) \Leftrightarrow \boxed{d = 2\sqrt {2\left( {\sqrt {17}  - 1} \right)}} (πολύ κοντά στο 5)


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 83
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: Παράλληλη χορδή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Τετ Ιούλ 29, 2020 10:45 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιούλ 28, 2020 9:12 pm
Παράλληλη χορδή.pngΑπό σημείο S της προέκτασης της διαμέτρου AB ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ST

και την διχοτόμο της \widehat{TSA} , η οποία τέμνει το τόξο σε δύο σημεία και ονομάζω P το πλησιέστερο στο A .

Αν AB=8 και PT \parallel AB , υπολογίστε το ακριβές μήκος της χορδής PT . Σημαντική σημείωση :

Είναι κυρίως άσκηση Άλγεβρας , γι' αυτό στην λύση σας να φαίνεται η υπερπήδηση των αλγεβρικών εμποδίων :-|
geogebra-export,parallili xordi .png
geogebra-export,parallili xordi .png (200.61 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Αν M το μέσο του AB τότε ME μισό του PT

Τα επόμενα συμπεράσματα βγαίνουν με Πυθαγόριο στα τρίγωνα MTE,MTS,TES


TE^{2}=16-a^{2}

ES^{2}=(MS-ME)^{2}=(\sqrt{16+4a^{2}}-a)^{2}

TE^{2}+ES^{2}=4a^{2}\Rightarrow 16-a^{2}+(\sqrt{16+4a^{2}}-a)^{2}=4a^{2}

16-a^{2}+16+4a^{2}-2a\sqrt{16+4a^{2}}+a^{2}=4a^{2}\Rightarrow 32=2a\sqrt{16+4a^{2}}\Rightarrow 16=a\sqrt{16+4a^{2}}
Υψώνωντας στην δευτέρα 256=a^{2}(16+4a^{2})\Rightarrow 64=a^{2}(4+a^{2})=4a^{2}+a^{4}\Rightarrow 4a^{2}+a^{4}-64=0

Από εδω βρίσκουμε εύκολα a= \sqrt{2(\sqrt{17}-1)}
Άρα 2a= 2\sqrt{2(\sqrt{17}-1)}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7256
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παράλληλη χορδή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 30, 2020 12:32 am

Κάτι παρόμοιο με το μικρό από τη Λεμεσό .
Παράλληλη χορδή_1.png
Παράλληλη χορδή_1.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές
Αφού PT//AB και η ST διχοτόμος , το \vartriangle TPS είναι ισοσκελές με κορυφή το T.

Ας είναι,M το μέσο του PT, K η προβολή του T στην AB και O το κέντρο του ημικυκλίου. Θέτω OK = x και άρα PT = TS = 2x

Από το Θ του Ευκλείδη στο \vartriangle TOS έχω :

O{T^2} = OK \cdot OS \Rightarrow 16 = x\sqrt {16 + 4{x^2}}  \Rightarrow {16^2} = {x^2}\left( {16 + 4{x^2}} \right) . Αν {x^2} = y έχω:

{y^2} + 4y - 64 = 0\,,y > 0 \Rightarrow y = 2\left( {\sqrt {17}  - 1} \right) οπότε : \boxed{x = \sqrt y  = \sqrt {2\left( {\sqrt {17}  - 1} \right)} }


Έχει ενδιαφέρον ο γεωμετρικός προσδιορισμός π.χ. του T, πριν τον πλήρη υπολογισμό της χορδής PT .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7256
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παράλληλη χορδή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιούλ 31, 2020 1:03 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιούλ 28, 2020 9:12 pm
Παράλληλη χορδή.pngΑπό σημείο S της προέκτασης της διαμέτρου AB ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ST

και την διχοτόμο της \widehat{TSA} , η οποία τέμνει το τόξο σε δύο σημεία και ονομάζω P το πλησιέστερο στο A .

Αν AB=8 και PT \parallel AB , υπολογίστε το ακριβές μήκος της χορδής PT . Σημαντική σημείωση :

Είναι κυρίως άσκηση Άλγεβρας , γι' αυτό στην λύση σας να φαίνεται η υπερπήδηση των αλγεβρικών εμποδίων :-|
Παράλληλη χορδή και διχοτόμος κατασκευή.png
Παράλληλη χορδή και διχοτόμος κατασκευή.png (21.51 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές
Έστω ημικύκλιο διαμέτρου \overline {AOB}  = 2R. Έξω απ αυτό γράφω νέο ημικύκλιο διαμέτρου \overline {ALO} και «υψώνω» κάθετη, AD = 2R,στο A επί την AB.

Η DL τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο F. Ας είναι N το μέσο του LF.

Γράφω νέο ημικύκλιο διαμέτρου \overline {DMN} . Η κάθετη στο F επί την διάμετρο DN τέμνει αυτό το τρίτο ημικύκλιο στο G,

Ο κύκλος : \left( {O,FG} \right) τέμνει την OB στο K που είναι η προβολή του ζητουμένου T.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης