Απόλυτα φράγματα

Al.Koutsouridis · #1

Έστω

$\displaystyle{f(x)= \dfrac{7\left |x\right|}{2|\sin^3 \pi x|+7\left |x\right|^4} + \dfrac{3}{\left |x^3\right|}}$ .

Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό

, για τον οποίο για κάθε τιμή του

, διάφορη του μηδενός, ικανοποιείται η ανίσωση

$\displaystyle{f(x)+\dfrac{1}{2} - \left | f(x)-\dfrac{1}{2} \right | \leq \dfrac{9y}{1+\left |x\right|^3}}$ .

Πηγή. Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 1987.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 14, 2020 11:49 am
Έστω

$\displaystyle{f(x)= \dfrac{7\left |x\right|}{2|\sin^3 \pi x|+7\left |x\right|^4} + \dfrac{3}{\left |x^3\right|}}$ .

Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό , για τον οποίο για κάθε τιμή του , διάφορη του μηδενός, ικανοποιείται η ανίσωση

$\displaystyle{f(x)+\dfrac{1}{2} - \left | f(x)-\dfrac{1}{2} \right | \leq \dfrac{9y}{1+\left |x\right|^3}}$ .

Πηγή. Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 1987.

Ωραία.
Θα γράψω την λύση. Δυστυχώς μου είναι πολύ δύσκολο να γράψω τις σκέψεις που με οδήγησαν σε αυτήν.
Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι

$\displaystyle f(x)+\dfrac{1}{2} - \left | f(x)-\dfrac{1}{2} \right |=2min(f(x),\frac{1}{2})$

Για x=2

είναι $f(2)=\dfrac{1}{2}$ .

Ετσι θα πρέπει $y\geq 1$ .

Θα δείξω ότι το y=1

κάνει την δουλεία.

Για κάθε $x\neq 0$ είναι

$\displaystyle 0<f(x)\leq \frac{4}{|x|^{3}}$

Αν $|x|\leq 2$
τότε
$\displaystyle \dfrac{9}{1+\left |x\right|^3}\geq 1\geq 2min (f(x),\frac{1}{2})$

Αν |x|> 2

τότε
$\displaystyle 2min (f(x),\frac{1}{2})=2f(x)\leq \frac{8}{|x|^{3}}\leq \frac{9}{1+|x|^{3}}$

Απόλυτα φράγματα

Απόλυτα φράγματα

Re: Απόλυτα φράγματα

Μέλη σε σύνδεση