Ακολουθία

Al.Koutsouridis · #1

Δίνεται αύξουσα ακολουθία των

πραγματικών αριθμών. Η Άρτεμις κατέγραψε όλες τις δυνατές ακολουθίες των

αριθμών, που είναι διαδοχικοί όροι της ακολουθίας. Προέκυψε ότι δυο από τις πέντε νέες ακολουθίες αποτελούν αριθμητική πρόοδο με διαφορά

και

αντίστοιχα και μια από τις ακολουθίες αποτελεί γεωμετρική πρόοδο. Να βρείτε τον μέγιστο από τους

δοθέντες αριθμούς. Υποδείξτε όλες τις δυνατές περιπτώσεις.

Manolis Petrakis · #2

Έστω

οι αριθμοί της αύξουσας ακολουθίας.
Θα δείξουμε πρώτα ότι είναι αδύνατον οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c

να είναι και αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος, εκτός αν είναι ίσοι (1)

: αριθμητική πρόοδος $\Rightarrow a+c-2b=0$
a,b,c

: γεωμετρική πρόοδος $\Rightarrow b=ka, c=k^2a \Rightarrow a+k^2a-2ka=0\Leftrightarrow a(k-1)^2\Leftrightarrow a=b=c$
•Αν μία εκ των ακολουθιών (a_2,a_3,a_4,a_5),(a_3,a_4,a_5,a_6),(a_4,a_5,a_6,a_7)

είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά

, τότε είναι αδύνατον να υπάρχει αριθμητική πρόοδος με διαφορά

. Όμοια αν μία από αυτές είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά

.
•Αν

: αριθμητική πρόοδος με διαφορά

, τότε η μόνη ακολουθία που μπορεί να έχει διαφορά

είναι η

Λόγω της

η

είναι γεωμετρική πρόοδος $\Leftrightarrow$ η a_1+8,a_1+12,a_5,a_5+36

είναι αριθμητική πρόοδος
$\Leftrightarrow a_5(a_1+12)=(a_1+8)(a_5+36) \Leftrightarrow a_5=9(a_1+8)$
Αλλά $k^2(a_1+8)=a_5\Rightarrow k=3$ (διότι η ακολουθία είναι αύξουσα)
Έτσι $3a_5=a_5+36\Leftrightarrow a_5=18\Leftrightarrow a_8=a_5+3\cdot 36=126$
•Αν a_1,a_2,a_3,a_4

: αριθμητική πρόοδος με διαφορά

, τότε η μόνη ακολουθία που μπορεί να έχει διαφορά

είναι η

Λόγω της

η

είναι γεωμετρική πρόοδος $\Leftrightarrow$ η a_1+72,a_1+108,a_5,a_5+4

$\Leftrightarrow a_5(a_1+108)=(a_5+4)(a_1+72) \Leftrightarrow a_5=\frac{1}{9}(a_1+72)$
Αλλά $k^2(a_1+72)=a_5\Rightarrow k=\frac{1}{3}$
Έτσι $3(a_5+4)=a_5\Leftrightarrow a_5=-6$
$\Rightarrow a_8=a_5+3\cdot 4=6$
Επομένως a_8=6

ή

με $a_8_{max}=126$

Ακολουθία

Ακολουθία

Re: Ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση