Μέγιστη τιμή έκφρασης συντελεστών

Al.Koutsouridis · #1

Για όλα τα

, για τα οποία |x| < 1

, ισχύει η ανίσωση

$ax^2+bx+c \leq \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Να βρείτε την μέγιστη τιμή της έκφρασης a+2c

.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Ιαν 16, 2021 11:22 am Για όλα τα , για τα οποία , ισχύει η ανίσωση

$ax^2+bx+c \leq \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Να βρείτε την μέγιστη τιμή της έκφρασης .

Για $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}: \ \ \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{\sqrt{2}}+c\leq \sqrt{2}$

Για $x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}: \ \ \dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{\sqrt{2}}+c\leq \sqrt{2}$

Προσθέτοντας τις παραπάνω παίρνουμε $a+2c\leq 2\sqrt{2}$ . Θα δείξουμε ότι η μέγιστη τιμή του a+2c

είναι το $2\sqrt{2}$ . Μένει για $a+2c=2\sqrt{2}$ να επιλέξουμε κατάλληλα τα a,b

(το

θα είναι ίσο με $\dfrac{2\sqrt{2}-a}{2}$ από την προηγούμενη σχέση) ώστε να ισχύει η αρχική σχέση για κάθε $x\in(-1,1)$ .

Θέλουμε λοιπόν να ισχύει $ax^2+bx+\dfrac{2\sqrt{2}-a}{2}\leq \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ για κάθε $x\in(-1,1)$ .

Για $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ παίρνουμε $b\leq 0$ και για $x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ παίρνουμε $-b\leq 0$ . Έτσι, παίρνουμε b=0

.

Πλέον, θέλουμε $ax^2+\dfrac{2\sqrt{2}-a}{2}\leq \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ για κάθε $x\in(-1,1)$ και μένει να επιλέξουμε κατάλληλα το

.

Επιλέγουμε $a=\sqrt{2}$ και θα δείξουμε $\sqrt{2}x^2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leq \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ για κάθε $x\in(-1,1)$ .

Θέτουμε $x=\sin{y}, \ y\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ και η παραπάνω είναι ισοδύναμη με την

$2\sqrt{2}\cos^3{y}-3\sqrt{2}\cos{y}+2\geq 0$ όπου $\cos{y}\in(0,1]$ .

Θέτουμε $f(x)= 2\sqrt{2}x^3-3\sqrt{2}x+2, \ x\in(0,1]$ με $f'(x)=6\sqrt{2}x^2-3\sqrt{2}$ η οποία μηδενίζεται στο $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ στο οποίο η

έχει ολικό ελάχιστο. Άρα $f(x)\geq f\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=0$

Οπότε τελικά $(a+2c)_{\max}=2\sqrt{2}$ για $a=\sqrt{2}, \ b=0, \ c=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Αλέξανδρος

Al.Koutsouridis · #3

Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο για την λύση.

Σε αυτό το σημείο, αν θέλουμε να αποφύγουμε τις παραγώγους μπορούμε και να παραγοντοποιήσουμε κατάλληλα.

cretanman έγραψε: Κυρ Ιαν 17, 2021 3:44 pm
Επιλέγουμε $a=\sqrt{2}$ και θα δείξουμε $\sqrt{2}x^2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leq \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ για κάθε $x\in(-1,1)$ .

Παρατηρούμε ότι και τα δυο μέλη της ανίσωσης είναι θετικά οπότε γράφεται ισοδύναμα

$\sqrt{2}x^2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leq \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \Leftrightarrow \left ( \sqrt{2}x^2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \leq \dfrac{1}{\left ( 1-x^2 \right )} \Leftrightarrow \left ( 1-x^2 \right ) \left (2x^4+2x^2+\dfrac{1}{2} \right) \leq 1 \Leftrightarrow$

$2x^4+2x^2+\dfrac{1}{2} -2x^6-2x^4-\dfrac{1}{2}x^2\leq 1 \Leftrightarrow 2x^6-\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{1}{2} \geq 0 \Leftrightarrow$

$4x^6-3x^2+1 \geq 0 \Leftrightarrow$

$4x^6-4x^2 +x^2+1 \geq 0 \Leftrightarrow$

$4x^2 \left ( x^4-1\right) + \left (x^2+1\right) \geq 0 \Leftrightarrow$

$4x^2 \left (x^2-1)(x^2+1) +\left (x^2+1\right) \geq 0 \Leftrightarrow$

$(x^2+1) (4x^2(x^2-1)+1) \geq 0 \Leftrightarrow$

$(x^2+1)(4x^4-4x^2+1) \geq 0 \Leftrightarrow$

$(x^2+1)(2x^2-1)^2 \geq 0$

που ισχύει.

Μέγιστη τιμή έκφρασης συντελεστών

Μέγιστη τιμή έκφρασης συντελεστών

Re: Μέγιστη τιμή έκφρασης συντελεστών

Re: Μέγιστη τιμή έκφρασης συντελεστών

Μέλη σε σύνδεση