Ανίσωση - μπελάς

KARKAR · #1

Αν ο αριθμός

είναι μονοψήφιος θετικός ακέραιος , να λυθεί η ανίσωση : $\dfrac{1+x}{1-\sqrt{x}}\leq x-n$

Maria-Eleni Nikolaou · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 09, 2022 11:59 am
Αν ο αριθμός είναι μονοψήφιος θετικός ακέραιος , να λυθεί η ανίσωση : $\dfrac{1+x}{1-\sqrt{x}}\leq x-n$

Περιορισμοί: $x\geq0 \,\,\,\wedge \,\,\,x\neq 1$

Έχουμε: $n\leq x+\dfrac{1+x}{\sqrt{x}-1}\Leftrightarrow n\leq\dfrac{x\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

Αφού η μέγιστη δυνατή τιμή είναι n=9

, αρκεί να λύσουμε την: $9\leq\dfrac{x\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

Οπότε είναι: $\dfrac{x\sqrt{x}+1-9\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}-1}\geq0\Leftrightarrow \dfrac{x^2 +\sqrt{x}+x\sqrt{x}-9x+10}{x-1}\geq0$

Θέτουμε: $\sqrt{x}=\omega\geq0$ οπότε έχουμε:

$(\omega^4+\omega^3-9\omega^2+\omega+10)(\omega^2-1)\geq0\Leftrightarrow (\omega-2)(\omega+1)(\omega^2+2\omega-5)(\omega^2-1)\geq0$

Μηδενίζεται στα: $\omega =2\,\,\,\vee \,\,\, \omega=\sqrt{6}-1\,\,\,\vee\,\,\, \omega=1$

Δηλαδή στα: $x=4\,\,\,\vee\,\,\,x=7-2\sqrt{6}\,\,\,\vee\,\,\,x=1$

Επομένως: $x\in (1,7-2\sqrt{6}] \cup [4,+\infty)$

Ας σημειωθεί ότι για τους μονοψήφιους $n\in\mathbb{Z^+}$ με $n\neq9$ αρκεί: x>1

Ανίσωση - μπελάς

Ανίσωση - μπελάς

Re: Ανίσωση - μπελάς

Μέλη σε σύνδεση