Τέλειο τετράγωνο

#1

Έστω ότι ο

είναι θετικός ακέραιος ώστε $n^2+(4\lambda-1)n+\lambda^2=0$ για κάποιο ακέραιο αριθμό $\lambda$ . Να δειχθεί ότι ο

είναι τέλειο τετράγωνο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Manolis Petrakis · #2

achilleas έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 10, 2022 9:14 pm
Έστω ότι ο είναι θετικός ακέραιος ώστε $n^2+(4\lambda-1)n+\lambda^2=0$ για κάποιο ακέραιο αριθμό $\lambda$ . Να δειχθεί ότι ο είναι τέλειο τετράγωνο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Λύνοντας ως προς $\lambda$ έχουμε:
$\lambda ^2 +4n \lambda +n^2-n=0$
$\Delta=16n^2-4(n^2-n)=4 n(3n+1)$
Για να είναι ο $\lambda$ ακέραιος, αφού ο

είναι ακέραιος, πρέπει $\sqrt {\Delta} \in \mathbb{N}$ άρα η $\Delta$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Επομένως το n(3n+1)

είναι τέλειο τετράγωνο (1)

.
Όμως

άρα για να ισχύει η (1)

πρέπει οι

και

να είναι τέλεια τετράγωνα.

#3

achilleas έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 10, 2022 9:14 pm
Έστω ότι ο είναι θετικός ακέραιος ώστε $n^2+(4\lambda-1)n+\lambda^2=0$ για κάποιο ακέραιο αριθμό $\lambda$ . Να δειχθεί ότι ο είναι τέλειο τετράγωνο.

Έσβησα μια λύση που είχα γράψει, γιατί είχα παραναγνώσει την εκφώνηση ως $n^2+(4\lambda-1)n +{\color {red} 4}\lambda^2=0$ .

Λύστε τώρα την άσκηση στην μορφή που μόλις ανέφερα (δηλαδή με $4\lambda ^2$ αντί σκέτο $\lambda ^2$ ). Αλλά υπάρχουν περιορισμοί. α) Επειδή η λύση που έγραψε ο Μανώλης (για την σωστή άσκηση) περνάει ατόφια για την νέα μορφή της, ζητώ διαφορετική λύση. β) Επιτρέπεται λύση μόνο της μισής γραμμής. Κάνει για Γυμνάσιο.

Με την ευκαιρία θέλω να ευχαριστήσω τον Γενικό Συντονιστή μας Δημήτρη για την επισήμανση του σφάλματός μου. Επίσης προσθέτω ότι η λύση που είχα γράψει δεν ήταν της μισής γραμμής, αλλά "περισσότερη φασαρία" συν τυπογραφικό σφάλμα. Την λύση της μισής γραμμής που ζητώ, την σκέφτηκα αργότερα, καθώς προσπαθούσα να μπαλώσω την αρχική μου λύση.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 12, 2022 1:55 am

achilleas έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 10, 2022 9:14 pm
Έστω ότι ο είναι θετικός ακέραιος ώστε $n^2+(4\lambda-1)n+\lambda^2=0$ για κάποιο ακέραιο αριθμό $\lambda$ . Να δειχθεί ότι ο είναι τέλειο τετράγωνο.

Έσβησα μια λύση που είχα γράψει, γιατί είχα παραναγνώσει την εκφώνηση ως $n^2+(4\lambda-1)n +{\color {red} 4}\lambda^2=0$ .

Λύστε τώρα την άσκηση στην μορφή που μόλις ανέφερα (δηλαδή με $4\lambda ^2$ αντί σκέτο $\lambda ^2$ ). Αλλά υπάρχουν περιορισμοί. α) Επειδή η λύση που έγραψε ο Μανώλης (για την σωστή άσκηση) περνάει ατόφια για την νέα μορφή της, ζητώ διαφορετική λύση. β) Επιτρέπεται λύση μόνο της μισής γραμμής. Κάνει για Γυμνάσιο.

Με την ευκαιρία θέλω να ευχαριστήσω τον Γενικό Συντονιστή μας Δημήτρη για την επισήμανση του σφάλματός μου. Επίσης προσθέτω ότι η λύση που είχα γράψει δεν ήταν της μισής γραμμής, αλλά "περισσότερη φασαρία" συν τυπογραφικό σφάλμα. Την λύση της μισής γραμμής που ζητώ, την σκέφτηκα αργότερα, καθώς προσπαθούσα να μπαλώσω την αρχική μου λύση.

$\displaystyle {n^2} + (4\lambda - 1)n + 4{\lambda ^2} = 0 \Leftrightarrow {n^2} + 4\lambda n + 4{\lambda ^2} = n \Leftrightarrow n = {(n + 2\lambda )^2}$

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 12, 2022 8:24 am
$\displaystyle {n^2} + (4\lambda - 1)n + 4{\lambda ^2} = 0 \Leftrightarrow {n^2} + 4\lambda n + 4{\lambda ^2} = n \Leftrightarrow n = {(n + 2\lambda )^2}$

.
Γιώργο, αυτό ακριβώς είχα κατά νου. Νομίζω ότι είναι ωραία ασκησούλα για Γυμνάσιο.

Η αρχική λύση που είχα για την $\displaystyle {n^2} + (4\lambda - 1)n + {\color {red} 4}{\lambda ^2} = 0$ , τώρα παρελθόν, ήταν

Ως δευτεροβάθμια ως προς

είναι $n = \dfrac {-(4\lambda-1) \pm \sqrt { (4\lambda -1)^2-4\cdot 4\lambda ^2}}{2} = \dfrac {-4\lambda+1 \pm \sqrt { 1-8\lambda}}{2}$ .

Άρα πρέπει η υπόρριζη ποσότητα να είναι τέλειο τετράγωνο, $1-8\lambda = m^2$ . Ακόμα καλύτερα, αφού το αριστερό μέλος είναι περιττός αριθμός, θα είναι και το

, δηλαδή θα έχουμε $1-8 \lambda = (2M+1)^2$ , ισοδύναμα $-2\lambda= M(M+1)$ .

Αντικατάσταση πίσω στον τύπο του

θα δώσει

ή

. Αυτό θέλαμε να δείξουμε.

Τέλειο τετράγωνο

Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση