Μονότονη σύνθεση

Al.Koutsouridis · #1

Η συναρτήσεις f(x)-x

και $f\left (x^2 \right) -x^6$ ορίζονται για όλους τους θετικούς και είναι γνησίως αύξουσες. Να αποδείξετε, ότι και η συνάρτηση $f \left ( x^3 \right) - \dfrac{\sqrt{3}}{2} x^6$ είναι γνησίως αύξουσα για όλα τα θετικά

.

(Για Γ' Λυκείου)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: Τρί Οκτ 25, 2022 2:34 pm Η συναρτήσεις και $f\left (x^2 \right) -x^6$ ορίζονται για όλους τους θετικούς και είναι γνησίως αύξουσες. Να αποδείξετε, ότι και η συνάρτηση $f \left ( x^3 \right) - \dfrac{\sqrt{3}}{2} x^6$ είναι γνησίως αύξουσα για όλα τα θετικά .

(Για Γ' Λυκείου)

Οι υποθεση είναι ότι για x>0

οι συναρτήσεις $\displaystyle f(x)-x,f(x)-x^3$
είναι γνησίως αύξουσες.
Θέλουμε ότι η $\displaystyle f(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2$ είναι και αυτή.
Εστω x>y>0

Παίρνουμε ότι
$\displaystyle f(x)-f(y)> x-y,f(x)-f(y)> (x-y)(x^2+xy+y^2)$
Παρατηρούμε ότι f(x)-f(y)>0

Πολλαπλασιάζοντας κατα μέλη έχουμε
$\displaystyle (f(x)-f(y))^2> (x-y)^2(x^2+xy+y^2)$
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι
$\displaystyle (x-y)^2(x^2+xy+y^2)\geq \frac{3}{4}(x^2-y^2)^2$
Αρα έχουμε ότι
$\displaystyle (f(x)-f(y))^2> \frac{3}{4}(x^2-y^2)^2$
και επειδή όλα είναι θετικά παίρνουμε το ζητούμενο.

Μονότονη σύνθεση

Μονότονη σύνθεση

Re: Μονότονη σύνθεση

Μέλη σε σύνδεση